Goniometrie: Beweisen Sie für alle x aus R cos^2(x) x = 1/2 (cos(2x) + 1)

Question

Beweisen Sie für alle x aus R =

cos²x = 1/2 (cos2x + 1)

Ich bin mir nicht sicher wie ich da vorgehen soll?

Erst n=0 einsetzen oder die rechte mit Additionstheoreme auf

 cos²x = 1/2 (cos²x - sin²x + 1) bringen?

Wenn sin/cos in einer Funktion vorkommen bin ich aktuell meistens ziemlich ratlos.

Comments

Beweisen Sie für alle x aus R

Da hat vollständige Induktion nichts verloren. Es gibt viel mehr reelle als natürliche Zahlen.

Induktion kann man verwenden, wenn da steht:

Beweisen Sie für alle n aus N 

D.h. , wenn die Anzahl der Behauptungen abzählbar ist.

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Danke nochmal! Jetzt verstehe ich das besser!

Answer 1

die rechte mit Additionstheoreme auf

 cos^2 x = 1/2 (cos^2 x - sin^2x + 1) bringen?

Prima Idee, dann etwas umformen

die rechte mit Additionstheoreme auf

 1/2 * cos^2 x = - 1/2 * sin^2 x + 1/2    | *2

führt auf die bekannte Formel

cos^2 x + sin^2 x = 1

Comments

Aber ich habe ja für x dann noch keinen wert eingesetzt oder? Sollte ich nicht damit anfangen: sin²(0) = 1/2 (1 - cos2(0)) oder so ähnlich?

Und dann später sin²(n+1) = 1/2 (1 - cos(n+1)x)? (Nur damit ich das auch richtig verstehe)

Momentan habe ich:

sin²x = 1/2 (1-cos2x)

sin²x = 1/2 (1-cos²x-sin²x)

1/2 (1-cos2x-sin2x) = 1/2 (1-cos2x-sin2x)

Was ja aber irgendwie nicht das ist was ich machen sollte. Entschuldige die ganzen fragen. Die vollständige Induktion habe ich so halbwegs drauf, aber auch nicht so richtig und jetzt kommen schon sin und cos dazu. :)

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Du sollst doch das für x∈ℝ beweisen. Da ist vollst. Ind. das

falsche Mittel. Du hast doch die zu beweisende

Gleichung äquivalent in eine

offenbar gültige Gleichung umgeformt.

Damit ist der Beweis erbracht.

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Oh ok. Kam mir irgendwie wenig vor. Also die vollständige Induktion ist dann nur für Folgen? Dann hätte ich das nämlich soweit alles verstanden. Es kam mir hier nur etwas wenig "rechnen" vor da ich nur ein wenig umgeformt habe und halt die Additionstheoreme verwendet habe.

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Ach und noch kurz etwas. Ich habe noch eine Aufgabe b.

b) sin²x=1(1−cos2x) 2

Da könnte ich doch einfach für die linke Seite wieder Additionstheoreme benutzen und hätte sofort

1(1−cos2x) 2 = 1(1−cos2x) 2

:)

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Ja, das macht Sinn.