Linare Algebra 1 Gruppenhomomorphismus

Question

ich sitze schon seit Stunden an der Aufgabe : 
Bestimmen Sie einen Gruppenhomomorphismen Φ : (R^3,+) → (R^3, +) mit folgenden Eigenschaften :

1) Kern Φ =  { ( 2t, t , -3t) ∈ R^3 : t ∈R }

2) Bild Φ =  { ( x, y ,z ) ∈ R^3 : x=y  } .

Ich verstehe leider nicht wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Muss ich hier dann quasi den Kern als G1 und das Bild als G2 betrachten und dann die Definition von Gruppenhomomorphismus anwenden?

!

Answer 1

Kern Φ =  { t·(2, 1, -3) ∈ R³ : t ∈R }

Damit ist schon mal { (2, 1, -3) } eine Basis von Kern Φ.

Bild Φ =  { ( x, y ,z ) ∈ R³ : x=y  } = { ( x, x ,z ) ∈ R³ } = { x·(1, 1, 0) + z ·(0, 0, 1) ∈ R³}

Damit ist { (1, 1, 0), (0, 0, 1) } eine Basis von Bild Φ.

Ergänze { (2, 1, -3) } zu einer Basis { (2, 1, -3), v, w } von R³.

Definiere Φ durch

        Φ((2, 1, -3)) = (0, 0, 0),

        Φ(v) = (1, 1, 0),

        Φ(w) = (0, 0, 1).

Answer 2

ein Gruppenhomomorphismus Φ : (R3,+) → (R3, +)

könnte ja z.B. eine lineare Abbildung sein.

Dann müssen die ersten beiden Komponenten der

Bilder immer gleich sein

und wegen des Kerns muss  gelten

f(2;1;-3) = 0

Also z.B f(x,y,z) = (x-2y ; x-2y ; x+y+z )