Algebra Gruppenhomomorphismus

Question

Aufgabe:

a)Es seien G eine Gruppe und a∈G. Zeige, dass ord(a^-1)= ord a.

b) Man zeige: Ist f: G→ H ein Gruppenhomomorphismus und a∈G mit ord a<∞, so ist ord f(a) ein Teiler von ord a.

c) Ist die Diedergruppe D₆ isomorph zur alternierenden Gruppe A₄?

Problem/Ansatz:

Ich versteh nicht wie ich genau an die Aufgabe ran gehen soll.

Comments

Was hast du schon selbst versucht?

a) Wie würde man zeigen, dass zwei Elemente die gleiche Ordnung haben?

b) Was würde passieren, wenn ord f(a) kein Teiler von ord a ist?

c) Besitzt die A4 irgendwelche Eigenschaften, die die D6 nicht hat? Tip: Es geht um Ordnungen von Elementen. Was machen Isomorphismen mit Ordnungen? Welche Ordnungen haben die Elemente von D6, welche Ordnungen haben die Elemente von A4?

Answer 1

Die Ordnung eines Elementes ist die kleinste nat. Zahl n für die gilt

a^n = a*a*…*a = e.

Wenn du diese Gleichung n mal  mit a^(-1) multiplizierst, hast

  e= (a^(-1) ) ^n . Und mit einer kleineren Zahl gelingt das nicht, sonst

wäre es bei a auch schon gelungen.

Also haben a und a^(-1) die gleiche Ordnung.

Comments

Und wie wäre es bei b und c der Fall?