Beweisen für x ∈ IR und n ∈ IN: sin(x) = 2^n cos(x/2) * cos(x/4) .... cos(x/2^n) * sin(x/2^n)

Question

Beweisen sie für alle x ∈ IR und n ∈ IN:

sin x = 2ⁿ cos \( \frac{x}{2} \) * cos \( \frac{x}{4} \) ... cos \( \frac{x}{2^n} \) * sin \( \frac{x}{2^n} \) .

Wie muss ich da vor gehen? Irgendwas mit Additionstheoreme ?

Und eventuell vollständige Induktion? Bin mir aber nicht sicher wie ich da anfangen soll. Hätte jetzt n = 0 gesetzt allerdings bin ich mir nicht sicher wie ich da genau vorgehen soll.

Answer 1

"Irgendwas mit Additionstheoreme ?"

Selbstverständlich.

Nach Doppelwinkelformel ist

sin(x)=2*sin(x/2)*cos(x/2), und

sin(x/2) kannst du wiederum als

2*sin(x/4)*cos(x/4) schreiben, und

sin(x/4) als 2*sin(x/8)*cos(x/8)...

Comments

Zu 100% hab ich die Folge noch nicht verstanden. Wenn ich 0 einsetze bekomme ich erstmal:

2*sin(x/2)*cos(x/2) =  cos \( \frac{x}{2} \) * cos \( \frac{x}{4} \) ...  cos x * sin x

Was genau besagt der erste teil der Folge?

2ⁿ cos \( \frac{x}{2} \) * cos \( \frac{x}{4} \) ...

Kann ich nicht gleich anstatt  cos \( \frac{x}{2} \) * cos \( \frac{x}{4} \) ... einfach  cos \( \frac{x}{2^n} \) ... schreiben??

Falls ich den ersten teil weglassen kann dann hätte ich es ja schon für n=0 bewiesen oder? Da die rechte Seite :2 der linken entspricht.

Answer 2

Wie muss ich da vorgehen?

Du kannst es mit vollständiger Induktion versuchen.

Comments

sin x = 2^{0 cos \( \frac{x}{2} \) * cos \( \frac{x}{4} \) ... cos \( \frac{x}{2^0} \) * sin \( \frac{x}{2^0} \)}

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Beginne mit n=1.

(n=0 passt noch nicht)

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Warum nicht?

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@Spacko: sin(x) = cos(x) * sin(x) ?

Definition von ℕ im Skript von asdyx…?

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sin(x) = 1·1·sin(x).

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cos(x/2^0) = 1 (?)

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Für n = 0 stellt cos(x/2)·cos(x/4)...cos(x/2ⁿ) ein leeres Produkt dar und hat den Wert 1.

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Selbstverständlich und sin(x/2^0) ist kein leeres Produkt :)

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Laut Skript ist die 0 in IN enthalten.

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Dann brauchst du Spackos Interpretation von "leerem Produkt" und beginnst mit sin(x) = sin(x/1) .

Selbstverständlich kannst du n=1 auch noch einsetzen. Vgl. vorhandene Antwort.