Beweise die Identität von Kreuzprodukten und Spatprodukt: a x (b x c) = …

Question

Es seien \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) und \( \vec{c} \) drei verschiedene Vektoren im \( R^3 \).

Zeigen Sie:

a) \( \vec{a} × (\vec{b} × \vec{c}) = (\vec{a} · \vec{c})\vec{b} − (\vec{a} ·\vec{b})\vec{c} \)

b) \( \vec{a} × (\vec{b} × \vec{c}) +\vec{b} × (\vec{c} × \vec{a}) + \vec{c} × (\vec{a} ×\vec{b}) = 0 \)

c) Die Vektoren \( \vec{a} \), \( \vec{b} \) und \( \vec{c} \) liegen genau dann auf einer Geraden, wenn folgende Gleichung gilt:

\( (\vec{a} ×\vec{b}) + (\vec{b} × \vec{c}) + (\vec{c} × \vec{a}) = 0 \).

Allgemein würde ich auch gerne wissen wollen, wie man solche Formeln beweist.

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Vektorprodukt a × b × c = (a ·c)b − (a·b)c zeigen

Stichworte: vektorprodukt,kreuzprodukt,gleichung

Aufgabe:

Es seien a, b und c drei verschiedene Vektoren im R^3. Zeigen Sie:

a × b × c = (a ·c)b − (a·b)c

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Tipp: Schau mal, ob andere Mitglieder diese Frage nicht bereits eingestellt haben.

Bsp. Mitglied Lillyfee

https://www.mathelounge.de/584830/aufgaben-berechnen-mit-vektoren

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Hallo

 das ist schnell in Komponenten hingeschrieben. oder mach dir klar in Welche Richtungen die Kreuzprodukte weisen.

Gruß lul

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Vgl. https://www.mathelounge.de/584222/beweise-die-identitat-von-kreuzprodukten-und-spatprodukt

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a) nun nochmals hier https://www.mathelounge.de/584779/vektorprodukt-a-b-c-a-c-b-ab-c-zeigen

Answer 1

Es seien ~a,~b und ~c drei verschiedene Vektoren im R³

~a = \( \left(\begin{smallmatrix} \mathrm{a}_1\\\mathrm{a}_2\\\mathrm{a}_3 \end{smallmatrix}\right) \)
~b = \( \left(\begin{smallmatrix} \mathrm{b}_1\\\mathrm{b}_2\\\mathrm{b}_3 \end{smallmatrix}\right) \)
~c = \( \left(\begin{smallmatrix} \mathrm{c}_1\\\mathrm{c}_2\\\mathrm{c}_3 \end{smallmatrix}\right) \)
Setze in die linke Seite ein.
Forme um bis du die rechte Seite bekommen hast.

~ steht für Vektor

Das hast du schon durch "Es seien ~a,~b und ~c drei verschiedene Vektoren im R³" zum Ausdruck gebracht. Der einzige Grund, Vektoren zusätzlich noch mit Pfeilen, Tilden oder Ähnlichem zu kennzeichnen, ist, die Lesbarkeit zu erhöhen. Mathematisch betrachtet sind solche Kennzeichnungen überflüssig.

Comments

Wie vereinfacht man den Term am Anfang ?

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Komme em letzten Punkt nicht weiter

Wie kommt man von dort aus jetzt auf das Ergebnis.

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Kann mir keiner weiterhelfen ?

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Nun die Vektoren komponentenweise zusammenzählen.

( A, B, C ) + ( D, E , F ) + ( G, H, K) = (A + D + G, B + E + H, .... )

Mit den Vorzeichen aufpassen! Um A, D, ... gehören erst mal Klammern, die dann korrekt aufzulösen sind.

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ich kann das überhaupt nicht nachvollziehen kann das jemand vorzeigen LG

Answer 2

a) Wenn Du es zeigen sollst, würde ich es einfach nachrechnen

a:=(a1,a2,a3), b:=(b1,b2,b3), c:=(c1,c2,c3)

Wie beim letzten mal ;-):

1:VP:=a⊗(b⊗c) 

2:SP:=(a c) b - (a b ) c

3: VP- SP

Answer 3

Ohne Vektorpfeile

(0) \(c = a + r \; \left(b - a \right)\)

(1) \(v \otimes v = 0\)

(2) \(v \otimes w + w \otimes v = 0\)

(3) \(  a \otimes b+ b \otimes c+ c \otimes a =  \)

(4) \(  a \otimes b+ b \otimes \left(a + r \; \left(b - a \right) \right)+ \left(a + r \; \left(b - a \right) \right) \otimes a = \)

(5) \( a \otimes b+ b \otimes a + r \; \left(b \otimes b - \left(b \otimes a \right) \right)+ a \otimes a + r \; \left(b \otimes a - \left(a \otimes a \right) \right) \)

===>(1) (2)===> die Behauptung

Comments

Wäre das dann die Behauptung oder muss ich da noch was machen

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ist das jetzt die fertige lösung

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Also aweng mitdenken wäre schon angebracht - was sollest Du denn beweisen?

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Ich soll folgendes beweisen

Die Punkte zu ⃗a,⃗b und ⃗c liegen genau dann auf einer Geraden, wenn folgende Gleichung gilt:
( ⃗a × ⃗b ) + ( ⃗b × ⃗c ) + ( ⃗c × ⃗a ) = 0 .

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Welches Ergebnis erhältst Du also aus (5), welche aus der Anwendung der Geraden entstanden ist, wenn Du (1) und (2) anwendest?

Answer 4

b) Du kannst \(\vec{a}= \begin{pmatrix} a_x\\a_y\\a_z \end{pmatrix} \) , \(\vec{b}= \begin{pmatrix} b_x\\b_y\\b_z \end{pmatrix} \) und \(\vec{c}= \begin{pmatrix} c_x\\c_y\\c_z \end{pmatrix} \) ansetzen, die Vektorprodukte damit formal ausrechnen und zum Schluss addieren.

Comments

Das habe ich schon bereits gemacht aber ich komme nicht auf diese Formel die gegeben ist Jetzt ist meine Frage wie kriege ich das hin Lg:-)

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Zeige mal deine Rechnung. Du darfst deine Rechnung auch fotografieren, wenn wir sie lesen können.