Verständnisfrage: Spatprodukt und Skalar

Question

Aufgabe:

Ich weiss ja, dass ein Spatprodukt sozusagen das Volumen eines Parallelepipeds berechnet.

V = G * h ->  die Grundfläche ist ja (bxc) und die Höhe bekomme ich durch : |a| |cos(y)| -> V = |a| |cos(y)| (bxc) -> Jetzt steht in meinem Formelbuch folgendes: a ° (bxc) (Vektor a Skalar mit Vektorprodukt (bxc) = V.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Aufstellung der Formel, jedoch macht es nicht ganz Klick, wieso |a| |cos(y)| (bxc) = | a ° (bxc)| ergibt.  Der Skalar gibt mir ja den Winkel cos(y) zwischen a und dem Vektor von (bxc)... wieso gibt mir das laut der Formelsammlung auch das Volumen?

Comments

Ich sehe gerade, dies ist der Betrag. Kann es deshalb sein?

Answer 1

Aloha :)

Das Vektorprodukt \(\vec n:=\vec b\times\vec c\) steht senkrecht auf den beiden Vektoren \(\vec b\) und \(\vec c\) und der Betrag des Vektorproduktes ist gleich der Fläche des von \(\vec b\) und \(\vec c\) aufgespannten Rechtecks. Daher ist $$G:=|\vec b\times\vec c|$$die Grundfläche des Parallelepipeds. Zur Berechnung des Volumens brauchen wir noch die Höhe \(h\) des Parallelepipeds. Das ist der Anteil des Vektors \(\vec a\), der senkrecht auf der Grundfläche steht. Da das Vektorprodukt \(\vec n\) von oben senkrecht auf der Grundfläche steht, erhalten wir die Höhe aus der Projektion des Vektors \(\vec a\) auf \(\vec n\).$$h=\vec a\cdot\frac{\vec n}{|\vec n|}=\vec a\cdot\frac{(\vec b\times\vec c)}{|\vec b\times\vec c|}$$Das Volumen des Parallelepipeds ist daher:$$V=G\cdot h=\vec a\cdot(\vec b\times\vec c)$$Beachte, dass \(V\) sowohl negativ als auch positiv sein kann, je nach dem, ob die Vektoren \(\vec a,\vec b,\vec c\) ein Rechts- oder ein Linkssystem bilden.

Answer 2

In der Formel a·(b×c)  = V ist b×c ein auf der Grundfläche senkrecht stehender Vektor v mit einem Betrag gleich der Größe der Grundfläche und a·v das Produkt aus dem Betrag von v und der Länge der Projektion von b auf v. Also Grundfläche mal Höhe.