Kreuzprodukt, Spatprodukt, Flächeninhalt, Vektoren

Question

Hi,

hab mal eine Frage. Undzwar sind folgende Vektoren gegeben:

a=( 3 ; √10 ; 1)

b=( 1 ; √10 ; 3)

c=( 5 ; 2 ; -5)

Die Aufgabe ist: Berechnen Sie den Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms und das Volumen des von a, b und c aufgespannten Spats.

Meine Frage ist nun, ob man zuerst den Vektor AB bzw. AC bilden muss, bevor man dann den Betrag des Kreuzprodukts ausrechnet. Für das Spatprodukt ist es eigentlich so ziemlich die gleiche Frage. Habe da irgendwie ein wenig verständnisprobleme.

Als Lösung für den Flächeninhalt habe ich:

2 * √11

Könnte aber auch falsch sein. Wäre über eine Erklärung und eventuell die richtige Lösung froh.

Comments

... ob man zuerst den Vektor AB bzw. AC ...

so wie die Aufgabe formuliert ist, musst du direkt die Vektoren a, b und c nehmen.

Answer 1

Aloha :)

Wenn zwei Punkte \(A(x_a,y_a,z_a)\) und \(B(x_b,y_b,z_b)\) gegeben sind, reichen die Vektoren \(\vec a=(x_a,y_a,z_a)\) und \(\vec b=(x_b,y_b,z_b)\) vom Ursprung des Koordinatensystems zu dem jeweiligen Punkt. Den Vektor \(\overrightarrow{AB}\) von Punkt A zu Punkt B musst du dann erst berechnen, indem du vom Punkt A zum Ursprung läufst, also den Vektor \(-\vec a\) entlang, und vom Ursprung dann den Vektor \(\vec b\) entlang zum Punkt B, das heißt: \(\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\). Hier sind jedoch direkt die Vektoren gegeben, sodass du sofort losrechnen kannst:$$F=\left|\vec a\times\vec b\right|\quad;\quad V=\left|(\vec a\times\vec b)\cdot\vec c\right|$$$$\vec a\times\vec b=\left(\begin{array}{c}3\\\sqrt{10}\\1\end{array}\right)\times\left(\begin{array}{c}1\\\sqrt{10}\\3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sqrt{10}\cdot3-1\cdot\sqrt{10}\\1\cdot1-3\cdot3\\3\sqrt{10}-\sqrt{10}\cdot1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2\sqrt{10}\\-8\\2\sqrt{10}\end{array}\right)$$$$\Rightarrow\quad F^2=(2\sqrt{10})^2+(-8)^2+(2\sqrt{10})^2=40+64+40=144=(12)^2$$$$\Rightarrow\quad F=12$$$$V=\left|\left(\vec a\times\vec b\right)\cdot\vec c\right|=\left|\left(\begin{array}{c}2\sqrt{10}\\-8\\2\sqrt{10}\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c}5\\2\\-5\end{array}\right)\right|=\left|2\sqrt{10}\cdot5-8\cdot2-2\sqrt{10}\cdot5\right|=16$$

Answer 2

Für den Flächeninhalt des Parallelogramms musst du \(A=|\vec{a}\times\vec{b}|\) berechnen.

Das Spatvolumen erhältst du mit der Determinante \(V=|\vec{a}\vec{b}\vec{c}|\)

Da keine Punkte, sondern Vektoren gegeben sind, kannst du direkt einsetzen.

\(A=|\vec{a}\times\vec{b}|=\left|\begin{pmatrix} 2\sqrt{10}\\-8\\ 2\sqrt{10} \end{pmatrix}\right|=12\)

\(V=|(\vec{a}\times\vec{b})\cdot\vec{c}|=16\)

Comments

Falls du Zwischenschritte brauchst, kannst du nachfragen. Ist nur etwas aufwendig, das ordentlich einzutippen.

Answer 3

Du hast die Vektoren a, b und c gegeben, auf die direkt Bezug genommen wird. Du kannst also gleich die gegebenen Vektoren zur Berechnung nehmen.

a ⨯ b = [2·√10, -8, 2·√10]

|a ⨯ b| = 12

(a ⨯ b) * c = -16

|(a ⨯ b) * c| = 16