Wie bestimmt man die Einheitengruppe von ℤ/4ℤ x ℤ/5ℤ?

Question

Aufgabe:

Wie bestimmt man die Einheitengruppe von ℤ/4ℤ x ℤ/5ℤ?

Ich möchte verstehen, wie man das im allgemeinen macht, damit ich das in Zukunft weiß.

Answer 1

 ℤ/4ℤ x ℤ/5ℤ  besteht aus den Paaren

(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(0,4),

(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),

(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),

(3,0),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4)

Das neutrale Element ist (1,1).

Du musst also schauen, für welche Paare (a,b) es ein

Paar (x,y) gibt mit  (a,b) * (x,y) = (1,1)

Diese beiden Paare gehören dann zur Einheitengruppe,

denn sie haben ein multiplikatives Inverses.

Wenn eine Komponente 0 ist geht es schon mal nicht.

(1,1)*(1,1) = (1,1)  also ist (1,1) eine Einheit

(1,2)*(1,3) = (1,6) mod 5 also (1,1), damit sind

(1,2) und (1,3) auch Einheiten.  etc.

Comments

Vielen Dank für deine Rückmeldung! (2,2)*(3,3) wären dann auch Einheiten, da mod 5 = (1,1) gilt, richtig? 

Betrachte ich zudem nur mod 5 Elemente oder auch mod 4?

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(2,2)*(3,3)sind  Einheiten, da = (2,1) .

Die erste Koponente mod 4 und

die zweite mod 5.