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Zeigen Sie, dass die Menge M= { A C M | A oder N/ A ist endlich} (N steht für natürlichen Zahlen) abzählbar endlich ist.

Kann mir jemand bei der Aufgabe weiterhelfen?

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Das ist eine wirklich komplizierte Aufgabe.

1 Antwort

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Beste Antwort

Die Menge der einelementigen Teilmengen von ℕ ist abzählbar.

Ist die Menge der höchstens n-elementigen Teilmengen von ℕ abzählbar, dann ist auch die Menge der höchstens n+1-elemetigen Teilmengen abzählbar (Beweis wie bei Cantors ersten Diagonalargument).

Per vollständiger Induktion folgt, dass die Menge E der endlichen Teilmengen von ℕ abzählbar ist.

Es gibt eine Bijektion zwischen E und C: = {A ⊂ ℕ | ∃U⊂P<∞(ℕ) A = ℕ\U}, der Menge der Teilmengen von ℕ mit endlichen Komplement. Also ist auch C abzählbar.

M = E ∪ C ist als Vereinigung von abzählbaren Mengen ebenfalls abzählbar.

Avatar von 107 k 🚀

Warum brauche ich eine Menge E ?

Ok, hab  jetzt E verstanden, aber könntest du mir erklären wie du auf C kommst?

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