Trigonometrische Funktion beschreiben

Question

Jan Feb Mär Apr Mai  Jun   Jul    Aug Sep  Okt   Nov      Dez        Jahr
1,6   2,7  3,8  5,3  6,8    7,1  7,1    6,7  5,2   3,7     2          1,4          4,5

-Werte der Tabelle in einem Koordinatensystem grafisch darstellen 

- Ein Teilnehmer hat sich nun zu der Beschreibung durch eine trigonometrische
Funktion einige Notizen gemacht.
Maximum höher als 7,1 also 7,3
Minimum tiefer als 1,4 also 1,3
7,3 – 1,3 = 6 a = 3
Periode ist 12
Das Maximum liegt etwas vor der Mitte Juni Juli t = 6,3, das Minimum etwas
vor der Mitte Dezember und Januar 12,3

Abstand zwischen Maximum und Durchgang durch den Mittelwert ist ein
Viertel der Periode
Mittlere Sonnenscheindauer (7,3 + 1,3) : 2 = 4,3
Beschreiben Sie anhand seiner Notizen, der Grafik und der Daten seine Überlegungen
zur Bestimmung der Parameter a, b, c und d der näherungsweise beschreibenden
Funktion f mit
f(x)=a*sin (2pi/b*(t-c))+d
- Geben Sie die Parameter a, b, c und d der näherungsweise beschreibenden Funktion
f mit f (x) a*sin(2pi/b(t-c))+d   an .

- Zeichnen Sie die Funktion f in dem Koordinatensystem aus Teil a) ein und beurteilen
Sie die Güte der Näherung.

Answer 1

Die Amplitude \(a\) ist \(=3\), die halbe Differenz zwischen Minimum und Maximum, die Periode \(b\) ist 12 - das ist ein Jahr (in Monaten). Die mittlere Sonnenscheindauer \(d\) ist der Mittelwert von Minimum und Maximum \(d=4,3\). Und die Phasenverschiebung soll so groß sein, dass das erste Maximum der Sinus-Funktion bei 6,3 auftritt (etwas vor Mitte Juni). Das erste Maximum der Sinusfunktion liegt bei einem Viertel der Periode. Ist die Periode 12, so liegt es bei \(t=3\). Um es nach 6,3 zu verschieben, müssen wir die Funktion noch um \(c=6,3-3=3,3\) nach rechts verschieben. Folglich lautet die näherungsweise Sinusfunktion: $$f(t) = 3 \cdot \sin\left( \frac{2\pi}{12}(t - 3,3)\right) + 4,3$$ Im Plot habe ich diese Funktion und die gegebenen Punkte eingezeichnet: ~plot~ 3*sin(2*pi*(x-3.3)/12)+4.3;[[-2|14|-1|9]];{1|1.6};{2|2.7};{3|3.8};{4|5.3};{5|6.8};{6|7.1};{7|7.1};{8|6.7};{9|5.2};{10|3.7};{11|2};{12|1.4} ~plot~

- Zeichnen Sie die Funktion f in dem Koordinatensystem aus Teil a) ein und beurteilen Sie die Güte der Näherung.

Ich würde sagen, dass passt so in etwa. Du kannst nun für die einzelnen Punkte die Abweichungen berechnen und selber beurteilen.

Welche Werte nimmt man  für das Koordinatensystem ? die errechneten oder die aus dem Diagramm ?

IMHO beide (s.o.). Nur so kannst Du den Unterschied zwischen den gegebenen Punkten und der trigonometrischen Funktion beurteilen, die ja nur eine Näherung darstellen soll.

Gruß Werner

Comments

Ich habe sowohl die Funktion aus den gemachten Angaben als auch die Funktionswerte als Punkte eingetragen. Damit kann man doch beurteilen, wie gut die Näherung ist.

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Ich erhalte die angegebenen Werte nicht aus der Formel t = x oder? Wenn ich aber für t bspw. 1 einsetze, komme ich mit der Formel nicht zu 1,6.

Answer 2

f(x) = - 3·COS(2·pi/12·(x - 0.3)) + 4.3

[1, 1.499258720;
2, 2.412038826;
3, 3.830696604;
4, 5.375103848;
5, 6.631437884;
6, 7.263065021;
7, 7.100741279;
8, 6.187961173;
9, 4.769303395;
10, 3.224896151;
11, 1.968562115;
12, 1.336934978]

Comments

Welche Werte nimmt man  für das Koordinatensystem ? die errechneten oder die aus dem Diagramm ??????

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Wie berechnet man den Wert für c ?Bisher dachte ich immer der x-Wert vom ersten Hochpunkt - den x-Wert vom ersten Tiefpunkt, geteilt durch 2 ist c. Aber dann wäre c = 9 (bei den ursprünglichen Werten)

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Wie sollte 9 ein Mittelwert sein, wenn 9 sogar größer ist als der Maximalwert?

Du hast vermutlich nicht minus, sondern plus gerechnet. Und du hast wohl auch noch vergessen, durch 2 zu teilen.

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Also muss ich (12 - 6):2 = 3 rechnen? Aber wie komme ich zu 3,3?

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Ich habe den Kommentar von Abakus ausgeblendet damit der Fragesteller nicht verwirrt wird. Er hatte nichts mit der Verschiebung nach rechts oder links zu tun.

Wie berechnet man den Wert für c ?Bisher dachte ich immer der x-Wert vom ersten Hochpunkt - den x-Wert vom ersten Tiefpunkt, geteilt durch 2 ist c.

Beachte das ich hier für die Modellierung keine Sinusfunktion sondern eine negative Cosinusfunktion genommen habe. Dann kann ich c direkt als den ersten Tiefpunkt angeben.

12.3 - 12 = 0.3 als ersten Tiefpunkt

Hätte man die Sinusfunktion genommen dann wären es

(0.3 + 6.3)/2 = 3.3

gewesen.

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Mein Problem ist, dass wenn ich die Sinusfunktion nehme, dass ich dann bspw. für y=3sin(1:6*pi(t-3,3))+4,3 den Wert t=5 einsetze, y = 0,27 erhalte. Doch das kann nicht stimmen. Was habe ich falsch gemacht?

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y = 3·SIN(pi/6·(t - 3.3)) + 4.3

Du kannst wenn du es richtig eingegeben hast nur werte zwischen 1.3 und 7.3 heraus bekommen.

Ein Wert von 0.27 spricht also dafür das du den Ausdruck einfach verkehrt eingegeben hast. Und dabei ist es jetzt erstmal egal ob du in dem Argument vom Sinus Fehler gemacht hast. Die spielen erstmal noch überhaupt keine Rolle.

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Okay, jetzt habe ich für t = 6,3 den Wert y = 4,3 erhalten. Doch auch das stimmt nicht. Wie habe ich vorzugehen? Der Wert liegt übrigens immer bei 4,3 - egal welchen Wert t ich einsetze

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Ich weiß nicht wo du einen Fehler machst. das du einen machst ist aber klar.

Gibt mal mehrere Versionen ein

y = 3·SIN(pi/6·(6.3 - 3.3)) + 4.3

y = 3·SIN(pi/6·(3)) + 4.3

y = 3·SIN(pi/2) + 4.3

hier sollte definitiv 7.3 herauskommen wenn dre Taschenrechner im Bogenmaß steht.

Wenn der Taschenrechner im Gradmaß steht sollte hier 4.382236400 herauskommen. Wenn du letzteres hast, dann einfach nur den Rechner ins Bogenmaß (Radiant) umstellen.