Gruppenhomomorphismus/Isomorphismus

Question

Hallo Community :) Ich muss folgendes beweisen, bekomme es aber nicht hin.

Kann mir jemand sagen wie das geht?

Seien n,m ∈ N natürliche Zahlen. Wir nehmen an, dass m ein Teiler von n ist, d.h. n = m · k mit einer natürlichen Zahl k. Geben Sie einen injektiven Gruppenhomomorphismus f : (Z/mZ,+)→ (Z/nZ,+) an. Folgern Sie, dass Z/mZ isomorph zu einer Untergruppe von Z/nZ ist (d.h. es gibt einen bijektiven Gruppenhomomorphismus von Z/mZ auf eine Untergruppe von Z/nZ).

Vielen Dank vorab! :)

Comments

Irgendetwas stimmt da nicht. Das Bild eines Gruppenhomomorphismus ist eine Untergruppe, aber {[0]₄, [1]₄} ist keine Untergruppe von ℤ/4ℤ.

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Bezieht sich dein Kommentar auf die Fragestellung oder auf deine gelöschte Antwort?

Answer 1

Hi,

Nimm für n=m*k einfach

$$ f: \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \to \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, [x]_m \mapsto [x\cdot k]_n $$

Überlege dir warum diese Abbildung wohldefiniert und ein Gruppenmonomorphismus ist.

Comments

Vielen Dank für die Rückmeldungen! 

Ich hätte jetzt an folgendes gedacht: (da ich die Syntax hier nicht kenne (z.B. eine Klammer mit mehreren Zeilen mal als Bild)

Ist das richtig? 

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Ja das ist richtig, aber es gilt ja auch nicht 4=2*3, oder?

Das k (bzw. bei dir a) soll die eindeutig bestimmte Zahl mit n=m*k sein. Also

$$ k =\frac{n}{m}$$

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Leider komme ich nicht so wirklich drauf, kannst du mir nochmal auf die Sprünge helfen?

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Gruppenhomomorphismus?

Nachrechnen.

Wohldefiniertheit:

Sei [x]=[y] in Z/mZ,

=> x-y in mZ, etwa x-y = qm

f([x]) - f([y]) = f( [x] - [y] ) = f( [x-y] ) = [(x-y)k] = [qmk] =[qn] = [0]

Also f([x]) = f([y]) somit ist die Abbildung wohldefiniert.

Injektiv:

Begründe warum ker(f) = {[0]}

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Könnte man eigentlich auch die Funktion: 

a+nZ -> n/m*a + m/Z betrachten?