Ableitung und Krümmung

Question

Aufgabe:

Eine Funktion f hat die folgenden Eigenschaften: f ist streng monoton wachsend, der Graph von f ist eine Rechtskurve, f(5) = 2 und f'(5) = 0.5.

a) Skizzieren Sie einen möglichen Graphen von f.

b) Wie viele Schnittpunkte mit der x-Achse hat der Graph von f maximal? Begründen Sie.

c) Formulieren Sie eine Aussage zur Anzahl der Minima bzw. Maxima der Funktion f.

Answer 1

Was sagt "streng monoton wachsen" über die Werte der ersten Ableitung aus?

Du solltest zudem zwei hinreichende Kriterien für lokale Extremstellen kennen; eins davon kommt ohne Betrachtung der zweiten Ableitung aus.

Comments

Ein Kriterium wäre ja: f´(x)=0, also notwendige Bedingung.

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Das ist notwendig, aber noch nicht hinreichend.

Bei Sattelpunkten ist auch die erste Ableitung 0.

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Dann wären es f´(x)=0 und f´´(x)<0 -> lokales Maximum

und f´(x)=0 und f´´(x)>0 -> lokales Minimum

Vorzeichenwechsel an der Stelle x von + nach -  -> lokales Maximum

Vorzeichenwechsel an der Stelle x von - nach + -> lokales Minimum

Kein Vorzeichenwechsel -> Sattelpunkt

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Die betrachtete Funktion ist nun streng monoton wachsend. Kann die erste Ableitung da einen Vorzeichenwechsel haben?