Bruch mit Fakultäten (n!)^2/(2n)! umschreiben

Question

Guten Morgen liebe Community,

in einer Übungsaufgabe soll ich den Grenzwert für \( \frac{(n!)^2}{(2n)!} \) bestimmen. Ich denke aus, dass Ich dies machen kann, falls Ich allerdings erst diese Formel vereinfachen bzw. umschreiben kann. So kann Ich mit dieser noch nichts anfangen.

Mein erster Ansatz:

\( \frac{(n!)^2}{(2n)!} \) =  \( \frac{n!n!}{(2n(2n-1))!} \) 

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Also \((2n)!\) kannst du so nicht umformen.

Answer 1

$$\frac{(n!)^2}{(2n)!}=\frac{n!*n!}{n!*\prod \limits_{i=n+1}^{2n}i}=\frac{n!}{\prod \limits_{i=n+1}^{2n}i}=\frac{\prod \limits_{i=1}^{n}i}{\prod \limits_{i=n+1}^{2n}i}=\frac{\prod \limits_{i=1}^{n}i}{\prod \limits_{i=1}^{n}(i+n)}=\prod \limits_{i=1}^{n}\frac{i}{n+i}$$Die Nenner sind alle größer oder gleich 2i, also $$<\prod \limits_{i=1}^{n}\frac{i}{2i}=(\frac{1}{2})^n$$außerdem ist alles positiv, also konvergiert die Folge gegen 0.

Comments

Top - Danke, jetzt weiß ich auch, dass man n! einfach als Produkt über i von i =1 kis i = n schreiben kann.

Zwei Verständisfragen hätte ich noch:

1. Von wo weiß ich, dass der Laufindex vom Produkt in Zähler n+1 ist und nicht nur 1?

2. Wieso sind die Nenner alle größer oder gleich 2i?

Alles andere kann Ich problemlos nachvollziehen.

Answer 2

(n!)^2/(2n)!   umschreiben

=  ((n!)*n!)/(2n)!

= n! /(2n * (2n-1) * (2n-2) .... * (n+1))

Nun ist jeder gerade Zahl im Nenner ein Vielfaches von einer Zahl kleiner/gleich n.

D.h. du kannst im Fall "n ist gerade":  

(2^(n/2) * n!) ausklammern und n! kürzen.

= 1/ (2^(n/2) * (2n-1) * (2n-3) * .... * (n+1))

Erst mal genau nachprüfen.

und:

Fall "n ist ungerade" fehlt noch. 

Answer 3

Schreibe es dir mal explizit für n = 3, 4, 5 auf.

Wenn du dann die ersten n Zähler mit den ersten n Nennern kürzt, bleiben n echte Brüche nach. Für n --> ∞ dürfte das Produkt der n echten Brüche gegen 0 gehen.