Kann man Divergenz mithilfe von indirektem Beweis zeigen?

Question

Ich setze schon langer an einer Aufgabe die folgendermaßen aussieht:

$$b_n:=\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}} \Longrightarrow \lim\limits_{x\to\infty} \infty$$

Ich hatte vorhin eine ähnliche Aufgabe gelöst wo aber der die Folge gegen einen bestimmten Wert konvergierte via der Grenzwertformel mit Epsilon.

Meine frage ist:

Kann ich über indirekten Beweis unter der Annahme dass b_n gegen den Grenzwert L konvergiert einen Widerspruch zeigen, dass es kein bestimmtes L aus reellen Zahlen gibt gegen b_n konvergiert sodass die folge gegen unendlich konvergiert?

Hat jemand eine idee ob das funktioniert bzw. wie der Beweis aussehen würde? Wäre er genauso wie bei der konvergenz einer folge zu einem bestimmten wert, wo der Widerspruch erfolt dass der Term wegekürzt wird sodass nur L stehen bleibt?

Answer 1

Da schon so lange niemand geantwortet hat:

Sicher sollte auch ein indirekter Beweis möglich sein, aber er ist rechnerisch aufwändiger als der direkte Beweis (welcher ein Zweizeiler ist). Für diesen indirekten Beweis sind vermutlich ähnliche Operationen nötig wie für einen direkten.

Erweitere einfach den gegebenen Term mit \(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\) und verwende dann im Nenner die dritte binomische Formel.

Comments

Am liebsten würde ich auch so die Aufgabe lösen, jedoch wird in der Aufgabenstellung verlangt:

Zeigen Sie, dass:

$$\lim\limits_{x\to\infty}b_k= \infty \text{ indem sie nachweisen dass } \forall M \in  \mathbb{R} \exists n_0 \in \mathbb{N}: b_k\gt M \forall k\geq n_0$$

Meine idee ist es über einen indirekten beweis zu zeigen unter der annahme das die folge b_k konvergiert gegen eine Zahl L. Versuchen dann dies zu lösen über die Grenzwertdefinition:

$$\forall ε \gt 0 \exists n_0 \in \mathbb{N}: \vert b_k -L \vert < ε \forall k\geq n_0$$

Zu dem Widerspruch kommen dass L kein bestimmter wert ist sondern für all Zahlen +unendlich steht, was zum Widerspruch zu der Eindeutigkeit des Grenzwert stehts, was somit die Folge divergent gegen unendlich macht.

Jedoch habe ich probleme den indirekten Beweis mathematisch aufzustellen. Kann mir vielleicht jemand bei der Beweisführung helfen?

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Angenommen, b_n konvergiert. Dann ist die Folge b_n beschränkt, und es existiert eine Schranke S mit |b_n|<S für alle n..

Also müsste für  diese Schranke \(\frac{1}{\sqrt{n+1}-\sqrt n}<S\) gelten.

Wir erweitern wie im direkten Beweis zu

\(\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt n}{1}<S\).

Da aber \({\sqrt{n+1}+\sqrt n}\) über alle Schranken wächst, ist das ein Widerspruch zur angenommenen Beschränktheit und damit zur angenommenen Konvergenz,