f(x) = e^x - x hat keine Wendestellen, aber warum?

Question

Aufgabe: a) Bestimmen Sie die Extremstellen der Funktiion f (...)

Schon fertig, T (0/1)

b) Begründen Sie, warum f keine Wendestellen hat.

-> Weil eine Exponentialfunktion nur steigt bzw. nur fällt.

Wäre mein Ansatz. müsste man da noch die dritte Ableitung nach sich ziehen oder reicht die Begründung aus?

Mfg, Mathejesus

…

Answer 1

Es muss f''(x_E)=0 gelten.

f''(x)=e^x

0=e^x

-----> x∈∅

Comments

Danke für die Antwort. Was genau bedeutet das nun?

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Die zweite Ableitung ist die e-Funktion. Die e-Funktion wird an keiner Stelle Null. Damit ist die zweite Ableitung immer ungleich Null und damit ist die notwendige Bedingung für eine Wendestelle nie erfüllt. Folglich gibt es keine Wendestellen.

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Perfekt danke dir @Der_Mathecoach und racine!:)

Answer 2

b) Begründen Sie, warum f keine Wendestellen hat.

-> Weil eine Exponentialfunktion nur steigt bzw. nur fällt.

Wäre mein Ansatz. müsste man da noch die dritte Ableitung nach sich ziehen oder reicht die Begründung aus?

Das ist Unsinn. Untersuche mal f(x) = x^3 + x

Ist das eine Funktion die nur steigt? Gibt es deshalb keine Wendestelle?

Comments

also gilt diese Regel nur bei e-Funktionen?

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Eine Regel sollte für möglichst viele Funktionen wenn nicht gar für alle gelten.

Wer hat dir die Regel beigebracht? Oder ist die selber ausgedacht?

Es gilt immer das wenn die zweite Ableitung eine Nullstelle mit Vorzeichenwechsel hat, dort eine Wendestelle vorliegt. Und das gilt für alle Funktionen und nicht nur für ein paar.

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Okay dann hab ich wohl was falsch verstanden

Answer 3

b) Begründen Sie, warum f keine Wendestellen hat.

-> Weil eine Exponentialfunktion nur steigt bzw. nur fällt.

Diese Begründung ist aus verschiedenen Gründen falsch. Zum einen liegt hier keine Exponentialfunktion vor, sondern eine Differenzfunktion. Zum anderen wäre die Begründung selbst dann nicht stichhaltig, wenn du sie auf die ganze Funktion verallgemeinerst, denn diese ist gar nicht monoton. Zum dritten können aber auch monotone Funktionen wie \(y=x^3\) Wendestellen aufweisen.

Versuche stattdessen über das Krümmungsverhalten zu argumentieren.