e-Funktion Extrem- und Wendestellen berechnen. f(x)= (-x^2+4)*e^{-x}

Question

ich brauche eure hilfe bei folgender aufgabe:

f(x)= (-x²+4)*e^-x

Answer 1

Hi,

f(x) = (-x^2+4)e^{-x}

f'(x) = (x^2-2x-4)e^{-x}

f''(x) = (-x^2+4x+2)e^{-x}

f'''(x) = (x^2-6x+2)e^{-x}

 

Extremstelle:

Es muss f'(x) = 0 sein. Da die e-Funktion nie 0 wird, gilt:

x^2-2x-4 = 0   |pq-Formel

x₁ = 1-√5

x₂ = 1+√5

Das kann man noch mit der zweiten Ableitung überprüfen und klassifizieren.

Im ersten Fall ists en Maximum, im zweiten Fall ein Minimum.

Du hast Stellen verlangt. Wäre es doch der Punkt, dann einfach die Stellen in f(x) einsetzen.

 

Wendestelle:

Es muss f''(x) = 0 sein. Da die e-Funktion nie 0 wird, gilt:

-x^2+4x+2 = 0   |:(-1), dann pq-Formel

x₃ = 2-√6

x₄ = 2+√6

Mit der dritten Ableitung überprüfen...sind jeweils Wendestellen.

 

Grüße

Answer 2

Um die Extremstellen zu berechnen bildest du die erste und zweite Ableitung mit Hilfe der Produktregel. Dann setzt du für die notwendige Bedingung die erste Ableitung gleich null, dann hast du die x-Werte für die Extrempunkte. Für die hinreichende Bedingung setzt du diese Werte in die zweite Ableitung ein um zu gucken ob ein Hoch- oder Tiefpunkt. Anschließend setzt du die Nullstellen in die Ursprungsfunktion ein uns hast den y-Wert für den Extrempunkt. Das selbe machst du bei den Wendestellen nur eine Ableitung höher.