dass die Gerade yt = x eine Tangente der Funktion y=b*ln(a*x) im Punkt (2;2)P ist.
Die Tangente hat zwei Eigenschaften mit der Funktion gemein:
- Sie hat dort wo sie angelegt wird die gleiche Steigung wie die Funktion.
- Sie hat dort wo sie angelegt wird den gleichen Funktionswert wie die Funktion.
Diese zwei Eigenschaften formuliert man als Gleichungen und löst das daraus resultierende Gleichungssystem.
Zu 1:
y' = b/x laut Faktorregel, Kettenregel und Kürzen
und somit
y'(2) = b/2
und
yt' = 1
also
(1) b/2 = 1.
Zu 2:
y(2) = b*ln(a*2)
yt(2) = 2
also
(2) b*ln(a*2) = 2
Jetzt (1) nach b auflösen und in (2) einsetzen. Die resultierende Gleichung nach a auflösen.
b) Bestimmen Sie alle möglichen Extrem- und Wendestellen von y=b*ln(a*x)
Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen.
Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen. Ist das Ergebnis größe als 0, dann ist dort ein Tiefpunkt, ist es kleiner als 0, dann ist dort ein Hochpunkt. Sag bescheid, wenn das Ergbnis gleich 0 ist.