Übungsaufgabe Funktionen,Konstanten, Extrem- und Wendestellen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei die Funktion  y=b*ln(a*x)

a) Bestimmen Sie die Konstanten a und b so, dass die Gerade y_t  = x eine Tangente der Funktion y=b*ln(a*x)
im Punkt (2;2)P ist.

b) Bestimmen Sie alle möglichen Extrem- und Wendestellen von y=b*ln(a*x)

Comments

Gegeben sei die Funktion  y=b*ln(a*b)

Wo ist denn das x?

Oder etwas professioneller ausgedrückt: Wo ist die unabhängige Variable?

Problem ist nämlich:

Bestimmen Sie die Konstanten a und b

Wenn a und b Konstanten sind, dann ist b*ln(a*b) auch eine Konstante.

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Ah sorry die Funktion ist  y=b*ln(a*x)

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Ich habe deine Frage dementsprechend überarbeitet.

Answer 1

dass die Gerade y_t  = x eine Tangente der Funktion y=b*ln(a*x) im Punkt (2;2)P ist.

Die Tangente hat zwei Eigenschaften mit der Funktion gemein:

1. Sie hat dort wo sie angelegt wird die gleiche Steigung wie die Funktion.
   
2. Sie hat dort wo sie angelegt wird den gleichen Funktionswert wie die Funktion.
   

Diese zwei Eigenschaften formuliert man als Gleichungen und löst das daraus resultierende Gleichungssystem.

Zu 1:

        y' = b/x laut Faktorregel, Kettenregel und Kürzen

und somit

        y'(2) = b/2

und

        y_t' = 1

also

(1)        b/2 = 1.

Zu 2:

        y(2) = b*ln(a*2)

        y_t(2) = 2

also

(2)        b*ln(a*2) = 2

Jetzt (1) nach b auflösen und in (2) einsetzen. Die resultierende Gleichung nach a auflösen.

b) Bestimmen Sie alle möglichen Extrem- und Wendestellen von y=b*ln(a*x)

Nullstellen der ersten Ableitung bestimmen.

Nullstellen der ersten Ableitung in die zweite Ableitung einsetzen. Ist das Ergebnis größe als 0, dann ist dort ein Tiefpunkt, ist es kleiner als 0, dann ist dort ein Hochpunkt. Sag bescheid, wenn das Ergbnis gleich 0 ist.