$$ f(x)=x^4-x^3+2$$
$$ f'(x)=4x^3-3x^2$$
Steigung f'(x)=1:
$$ 1=4x^3-3x^2$$
Da 4-3=1 ist, ist die Gleichung für x=1 erfüllt.
Nun müsste noch gezeigt werden, dass das die einzige Lösung ist.
Gibt es eine weitere Lösung für \(=04x^3-3x^2-1\)?
Dazu machen wir eine Polynomdivision:
\( (4 x^{3}-3 x^{2}-1):(x-1)=\left(4 x^{2}+x+1\right) \)
\(4 x^{2}+x+1=0\)
\(x^2+0.25x+0.25=0\)
\(x_{12}=-0.125\pm\sqrt{0.125^2-0.25}=-0.125\pm\sqrt{ -0.234375}\)
Da unter der Wurzel eine negative Zahl steht, gibt es keine weiteren Lösungen.