Question

 Ist die Gleichung : 41 x n + 11 x m = 1 für ganze Zahlen n,m∈ℤ lösbar? 

Answer 1

Benutze z.B. http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/diophant.htm

Es soll die diophantische Gleichung  41n + 11m = 1  gelöst werden.

Das von Euler entwickelte Verfahren ist eng verwandt mit dem euklidischen Algorithmus.
Man betrachtet nur die jeweiligen Reste bei der Division durch einen der Koeffizienten,
geeigneterweise den mit dem kleinsten Betrag, und reduziert die Reste dadurch solange,
bis nur noch ein ganzzahliger Rest bleibt.

Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist m. Die Gleichung wird nach m umgeformt:

    11m = 1 - 41n

          1 - 41n
    m = —————————
            11

Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen
Koeffizienten und den Rest zerlegt:

                1 - 8n
    m = -3n +  ————————
                  11

Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter a wird eingeführt und dem Bruch gleichgesetzt:

          1 - 8n
    a = ————————
            11

    11a = 1 - 8n


Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist n. Die Gleichung wird nach n umgeformt:

    8n = 1 - 11a

          1 - 11a
    n = —————————
            8

Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen
Koeffizienten und den Rest zerlegt:

                1 - 3a
    n = -a +  ————————
                  8

Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter b wird eingeführt und dem Bruch gleichgesetzt:

          1 - 3a
    b = ————————
            8

    8b = 1 - 3a


Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist a. Die Gleichung wird nach a umgeformt:

    3a = 1 - 8b

          1 - 8b
    a = ————————
            3

Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen
Koeffizienten und den Rest zerlegt:

                1 - 2b
    a = -2b +  ————————
                    3

Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter c wird eingeführt und dem Bruch gleichgesetzt:

          1 - 2b
    c = ————————
            3

    3c = 1 - 2b


Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist b. Die Gleichung wird nach b umgeformt:

    2b = 1 - 3c

          1 - 3c
    b = ————————
            2

Nun wird der Bruch durch komponentenweise Division mit Rest in einen Teil mit ganzzahligen
Koeffizienten und den Rest zerlegt:

                1 - c
    b = -c +  ———————
                  2

Da alle anderen Summanden ganzzahlig sind, muß auch der Restbruch ganzzahlig sein.
Der ganzzahlige Parameter d wird eingeführt und dem Bruch gleichgesetzt:

          1 - c
    d = ———————
            2

    2d = 1 - c


Die Variable mit dem kleinsten Koeffizienten ist c. Die Gleichung wird nach c umgeformt:

    c = 1 - 2d

Nun ist auf der rechten Seite der Gleichung kein Bruch und keine der Variablen mehr
enthalten. Durch Einsetzen in umgekehrter Reihenfolge werden nun in allen Gleichungen,
in denen eine Variable isoliert wurde, die anderen Variablen eliminiert.

Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung für b:


          1 - 3c      1 - 3·(1 - 2d)
  b  =  ————————  =  ————————————————  =  -1 + 3d 
            2                2


Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung für a:


          1 - 8b      1 - 8·(-1 + 3d)
  a  =  ————————  =  —————————————————  =  3 - 8d 
            3                3


Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung für n:


          1 - 11a      1 - 11·(3 - 8d)
  n  =  —————————  =  —————————————————  =  -4 + 11d 
            8                8


Eliminiere die Unbekannte(n) durch Einsetzen in die Gleichung für m:


          1 - 41n      1 - 41·(-4 + 11d)
  m  =  —————————  =  ———————————————————  =  15 - 41d 
            11                11



Damit hängen alle Variablen nur noch von freien Parametern ab, die unabhängig
voneinander die Menge der ganzen Zahlen durchlaufen können:

    n = -4 + 11d
    m = 15 - 41d

Answer 2

41·( - 4) + 11·15 = 1----------------------