Extrema Nullstelle und Integral berechnen. f(x) = (1-ln(x))/x^2

Question

Gegeben ist eine Funktion mit \(\frac{1-ln(x)}{x^2}\), hier sollen nun folgende Sachen berechnet werden:

1. Nullstellen

2. Extrema

3. Stammfunktion

4. Die Fläche des Graphen und der X-Achse im Intervall \([e,b]\) ist angegeben mit \(0,1\), das \(b\) soll berechnet werden

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1 + 2 + 3 habe ich soweit berechnet, alles kein Problem.

Mein Problem ist Aufgabe 4:

Ich komme da auf das hier:

$$ \int_{e}^{b} \! f(x) \, dx =0.1 $$

Stammfkt ist:

$$ \frac{ln(x)}{x} $$

Grenzen einsetzen:
$$ [\frac{ln(b)}{b}] - [e^{-1}] = 0.1 $$

Jetzt die Frage, wie kann man das \(b\) berechnen?

Comments

Das Intervall ist \([e,b]\), wenn das vielleicht Jemand bei den Grenzen korrigieren könnte :)
Fehlen sonst noch Informationen? Ich hoffe ihr helft mir weiter :)

Answer 1

Hallo House,

die letzte Zeile muss  | ln(b)/b - e^(-1) | = 0.1  heißen.

Da die Funktion in ] e , b ]  unterhalb der x-Achse verläut:    ln(b)/b - e^(-1)  = - 0.1

Das kann man wohl nur mit einem Näherungsverfahren lösen:

Newtonverfahren

Berechnen der Nullstellen von f(x)  (f muss differenzierbar sein)
Ausgehend von einem (möglichst guten) Startwert, den man z.B zwischen zwei x-Werten findet, deren Funktionswerte verschiedenes Vorzeichen haben, findet man (leider nicht immer!) - auch mit einem einfachen Taschenrechner -  immer bessere Werte mit der Formel$$x_{neu} =  x_{alt} - \frac{f(x_{alt})}{ f ' (x_{alt})}$$Du weißt allerdings i.A. nicht, ob du alle NS gefunden hast. Hier hilft oft eine Betrachtung der Extremwerte und der Krümmung.

Hier:
f(x) = ln(x)/x - 1/e + 0,1 = 0

f '(x) = (1-ln(x))/x^2

b ≈ 7,54304

Gruß Wolfgang

Comments

Das Problem der Newton Methode ist leider die Nullstelle, was hier glücklicherweise passt. 

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Wenn du mit "Problem ist die Nullstelle" den Starwert meinst, hat man bei mehreren Nullstellen Arbeit, manchmal auch ein Problem. Aber nicht nur bei Newton :-)

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Starwert x = 15  geht hier gerade noch:

x=20  macht Probleme, weil f(x) wegen des ln nur für positibe Zahlen definiert ist. Bei D=ℝ  hat man mit den Starwerten weniger Probleme!

Aber welche Alternative zum NV hättest du denn anzubieten?

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Also NV, war auch mein erster Gedanke. Ohne dass ich mir das jetzt mal genauer angesehen habe aber Vll. kann man statt eines Nullstellenproblems auch ein Fixpunktproblem betrachten (?). Statt Newton könnte man wahrscheinlich auch ein anderes Näherungsverfahren (Bisektion?) nutzen.

Aber ich finde deinen Ansatz absolut plausibel, ich wäre genauso vorgegangen. Die Frage die sich mir stellt, ob das jetzt Abi oder HS Mathe ist? (Mir ist nicht bekannt dass das NV im Abitur vorkommt)

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Bei der Bisektion brauchst du doch erst einmal ein Intervall, in dem die Funktionswerte das Vorzeichen genau einmal wechseln. Dann hast du auch einen guten Starwert für das NV und Letzteres konvergiert ggf. wesentlich schneller.

Wo kein NV, da keine solche Gleichung :-)

Ein Mathematikehrer, der seine Abiturienten ohne NV entlässt (auch wenn es nicht auf dem Lehrplan stehen sollte) hat m.E. seinen Beruf verfehlt :-)