Aufgabe:
Es seien M und N zwei nichtleere Teilmengen des K-Vektorraums V.
$$a) \space Beweisen \space sie \space , \space dass \space aus \space M \subseteq N \space folgt \space \langle M \rangle \subseteq \langle N \rangle$$
Gilt auch die Umkehrung?
$$b) \space Zeigen \space sie \space , \space dass \space \langle M \cap N \rangle eine \space Teilmenge \space von \langle M \rangle \cap \langle N \rangle \space ist$$
Gilt sogar Gleichheit?
Problem/Ansatz:
a) Sei M={v1, ..., vm} und N={v1, ..., vn} mit m<=n
Laut Definition gilt dann:
$$ \langle M \rangle = K \cdot v_1 + ... + K \cdot v_m$$
$$ \langle N \rangle = K \cdot v_1 + ... + K \cdot v_n$$
Zeigt das jetzt schon, dass die Behauptung gilt? Ich weiss ehrlich gesagt nicht, was ich sonst noch zeigen soll.
Die Umkehrung sollte eigentlich aus genau dem gleichen Grund gelten, aber die Aufgabenstellung suggeriert ja etwas anderes. Eine Gegenbeispiel springt mir hier leider nicht ins Auge.
b) Sei M={v1, ..., vm} und N={v1, ..., vn} mit m<=n
$$ Sei \space M \cap N = \{v_1, ... v_j\}, \space j \leq m$$
Laut der Definition zur linearen Huelle gilt:
$$\langle M \cap N \rangle = K \cdot v_1 + ... + K \cdot v_j$$
$$ \langle M \rangle = K \cdot v_1 + ... + K \cdot v_m$$
$$ \langle N \rangle = K \cdot v_1 + ... + K \cdot v_n$$
$$\langle N \rangle \cap \langle M \rangle \space enthaelt \space jetzt \space alle \space Vektoren \space bis \space mindestens \space v_m$$
Es gilt also:
$$\langle N \rangle \cap \langle M \rangle=K \cdot v_1 + ... + K \cdot v_m$$
$$Jetzt \space erkennt \space man \space , \space dass \langle M \cap N \rangle \subseteq \langle N \rangle \cap \langle M$$
Die Gleichheit gilt nicht, dann m kann groesser als j sein.
Sind die Beweise richtig? Falls nicht, was muss ich verbessern?
