Rekursive Folge, Beschränktheit zeigen (an^3) / (sqrt(an^4 +2) +an^2)

Question

Aufgabe:

Also, ich habe hier eine rekursive Folge doch mir ist nicht klar wie ich die Beschränktheit zeige, die Musterlösung ist nicht sehr zufriedenstellend. Generell wirken diese Beweise der Beschränktheit bei rekursiven Folgen immer sehr an den Haaren herbei gezogen und ich kann sie einfach nicht nachvollziehen.

\( \frac{an^3}{\sqrt{an^4 +2} +an^2} \)    mit a1 = 1

Problem/Ansatz:

die Lösung sagt: Es ist offensichtlich das an >gleich 0 für alle n e N, denn a1 = 1 >gleich 0.  und falls an >gleich 0 dann ist auch an+1 immer größer gleich 0. Nach d.P.d.v Induktion folgt die Behauptung.

Aber 1: Wieso ist an immer größer gleich 0? Muss ich das nicht per Induktion zeigen?? Und wieso folgt aus an größer gleich 0 auch das an+1 größer gleich 0 ist?

Answer 1

Du beginnst ja mit einem positiven Wert.

Der wird für das nächste Folgengleid erst Mal hoch 3 genommen,

das gibt also auch was positives.

Dann wird die Wurzel aus an^4 + 2 berechnet, die

ist auch positiv und da noch was positives dazu

addiert, also ist der Nenner des Bruches jedenfalls auch positiv.

Und um den Bruch auszurechnen:

positiv : positiv kommt natürlich wieder was positives raus.

So sieht man: wenn ein Folgengleid positiv ist,

dann auch das nächste, also (weil das erste eben pos. ist ) alle.

Das ist im Prinzip schon vollst. Induktion, nur nicht

so genau notiert.  Das macht man bei sehr

offensichtlichen Sachen schon mal.

Comments

Also kann ich bei den einfachen rekursiven Folgen einfach sagen: Durch scharfes hinsehen sieht man, dass die Folge immer größer null ist. Also nach unten Beschränkt durch 0! ( ist diese Beschreibung richtig?)

Und die Monotonie dieser Folge würde ich ja dann durch \( \frac{an+1}{an} \) >= 0 zeigen oder? Weil manchmal sagt man ja auch an+1 - an <= 0. Oder sind diese beiden Verfahren gleichwertig zu benutzen?

Und wenn meine Folge nach unten durch etwas anderes als 0 beschränkt ist,  brauche ich die komplette Induktion?

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Wenn du einer Folge mit durchweg positiven Gliedern hast, ist der Quotient benachbarter Glieder IMMER (unabhängig von Monotonie) positiv.

Wenn du unter dieser Bedingung unbedingt Monotonie mit einem Quotienten beurteilen willst, dann unterscheide zwischen

 "Quotient >1" und

 "0<Quotient <1"

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Ups, meinte ich auch, hatte nur statt 1 ausversehen 0 getippt.

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Und wenn meine Folge nach unten durch etwas anderes als 0 beschränkt ist,  brauche ich die komplette Induktion?

Stimmt das denn?

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Kannst ja vorsichtshalber immer komplette Induktion machen.

Soviel Mehraufwand ist das ja nicht.

Answer 2

"Aber 1: Wieso ist an immer größer gleich 0?"

Das erste Folgenglied ist 1, also positiv.

Wenn man eine positive Zahl hat, ist deren dritte Potenz auch positiv (siehe Zähler).

Der Nenner besteht aus 2 Summanden, die garantiert beide positiv sind.

Positiver Zähler geteilt durch positiven Nenner ergibt zwangsweise einen positiven Bruch.

Und ja, im Prinzip ist das Induktion.

a₁ ist positiv, deshalb ist auch a₂ positiv. Wenn a₂ positiv ist, ist auch a₃ positiv usw.