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Aufgabe: Die Folge (an)n ∈ℕ sei rekursiv definiert durch a1 = 1/2 und an+1 = (2-an)an für n ≥1

a) Zeigen Sie, dass für alle Folgenglieder, also für alle n ∈ℕ die Abschätzungen  0 < an < 1 gelten und dass die Folge (an)n ∈ℕ monoton wachsend ist. Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge.


also monoton wachsend kann ich durch an ≤ an+1 zeigen. Einfach die Ungleichung lösen. Eine monotone Folge und beschränkte Folge ist automatisch konvergent, das weiß ich. Wie zeige ich aber die Beschränktheit und bestimme den Grenzwert ?

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Du weißt schon, dass der erste Wert a1=1/2 ist. Dann muss du die Beschränktheit für die obere Grenze zeigen. D.h die obere Grenze abschätzen:

1/2<=an<=10 und dann nur an<=10 mittels vollständiger Induktion zeigen (10 nur zufällig gewählt). Das kannst du?

Und der Limes ist auch leicht zu berechnen. Es gilt lim an=lim an+1=a, für n→∝. Dann berechne einfach die Gleichung: a=(2-a)a

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