Rekursive Folge, Beschränktheit, Monotonie und Grenzwert

Question

Aufgabe: Die Folge (a_n)_n ∈ℕ sei rekursiv definiert durch a₁ = 1/2 und a_n+1 = (2-a_n)a_n für n ≥1

a) Zeigen Sie, dass für alle Folgenglieder, also für alle n ∈ℕ die Abschätzungen  0 < a_n < 1 gelten und dass die Folge (a_n)_n ∈ℕ monoton wachsend ist. Bestimmen Sie den Grenzwert der Folge.

also monoton wachsend kann ich durch a_n ≤ a_n+1 zeigen. Einfach die Ungleichung lösen. Eine monotone Folge und beschränkte Folge ist automatisch konvergent, das weiß ich. Wie zeige ich aber die Beschränktheit und bestimme den Grenzwert ?

Answer 1

Du weißt schon, dass der erste Wert a1=1/2 ist. Dann muss du die Beschränktheit für die obere Grenze zeigen. D.h die obere Grenze abschätzen:

1/2<=an<=10 und dann nur an<=10 mittels vollständiger Induktion zeigen (10 nur zufällig gewählt). Das kannst du?

Und der Limes ist auch leicht zu berechnen. Es gilt lim an=lim an+1=a, für n→∝. Dann berechne einfach die Gleichung: a=(2-a)a