Aloha :)
Wir haben mit \(c>0\) eine reelle Konsante und folgende rekursive Folge gegeben:$$x_{n+1}=2x_n-cx_n^2\quad;\quad 0<x_0<\frac{1}{c}\quad;\quad n\in\mathbb N_0\quad;\quad c>0$$
Die Rekursions-Vorschrift ist so etwas unhandlich zu untersuchen, deswegen formen wir sie etwas um:
$$cx_{n+1}=2cx_n-c^2x_n^2\implies$$$$cx_{n+1}-1=-c^2x_n^2+2cx_n-1=-(c^2x_n^2-2cx_n+1)=-(cx_n-1)^2$$
Damit können wir die Rekursionsgleichung nun so umformulieren:$$cx_{n+1}=1-(cx_n-1)^2\quad;\quad 0<cx_0<1\quad;\quad n\in\mathbb N_0\quad;\quad c>0$$
zu a) Beschränktheit
Wir sollen zeigen, dass: \(0<x_n<\frac{1}{c}\) für alle \(n\in\mathbb N_0\)
Das ist gleichbedeutend mit: \(\;0<cx_n<1\) für alle \(n\in\mathbb N_0\).
Wir zeigen das mit vollständiger Induktion. Dabei ist wegen \(0<cx_0<1\) der Induktionsanfang für \(n=0\) geschenkt. Im Induktionsschritt überlegen wir uns:$$0<cx_n<1\implies-1<cx_n-1<0\implies0<(cx_n-1)^2<1\implies$$$$0>-(cx_n-1)^2>-1\implies1>1-(cx_n-1)^2>0\implies1>cx_{n+1}>0\quad\checkmark$$Damit gilt \(0<cx_n<1\) für alle \(n\in\mathbb N_0\).
zu b) Konvergenz begründen
Jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Es reicht also für den Beleg der Konvergenz zu zeigen, dass die Folge monoton ist.$$cx_{n+1}-cx_n=1-(cx_n-1)^2-cx_n=1-(c^2x_n^2-2cx_n+1)-cx_n$$$$\phantom{cx_{n+1}-cx_n}=cx_n-c^2x_n^2=\underbrace{cx_n}_{>0}\cdot\underbrace{(1-cx_n)}_{>0}>0$$Nach (a) sind beide Faktoren postiv und daher die Folge \((x_n)\) streng monoton wachsend. Damit ist die Konvergenz gesichert.
zu b) Grenzwert bestimmen
Mit \(x\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}\) finden wir den Grenzwert \(x\):$$x=2x-cx^2\implies x-cx^2=0\implies x(1-cx)=0\implies x=0\;\lor\;x=\frac{1}{c}$$Da die Folge streng monoton wächst, scheidet \(0\) als Grenzwert aus und wir finden:$$x=\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\frac{1}{c}$$
