Berechnen Sie p(i) mit p(z):= 2z^4 + 2z^3 -2z^2 - 2z - 4

Question

Aufgabe

p(z):= 2z^4 + 2z^3 -2z^2 - 2z - 4

a) Berechnen Sie p(i).

b) Finden Sie alle Nullstellen von p.

c) Zerlegen Sie p in (komplexe) Linearfaktoren.

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Vom Duplikat:

Titel: Polynom p(z): = 2z^4 + 2z^3 - 2z^2 + 2z - 4 in (komplexe) Linearfaktoren zerlegen?

Stichworte: polynom,komplexe,linearfaktor

Aufgabe:

a.)Zerlegen Sie p in (komplexe) Linearfaktoren.

b.)Polynom p(z): = 2z^4 + 2z^3 - 2z^2 + 2z - 4

Problem/Ansatz

Ich komme mit dieser Aufgabe nicht klar. Kann mir jemand einen Lösungsweg zeigen.

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Was ist denn nun die gültige Version von p?

Answer 1

p(z) = 2·z^4 + 2·z^3 - 2·z^2 - 2·z - 4

a) Berechnen Sie p(i).

p(i) = 2·i^4 + 2·i^3 - 2·i^2 - 2·i - 4 = 2 - 2·i + 2 - 2·i - 4 = - 4·i

b) Finden Sie alle Nullstellen von p.

Prüfe mal dein Polynom. Mein Rechner bringt

z = -0.3120010017 - 0.9101738659·i ∨ z = -0.3120010017 + 0.9101738659·i ∨ z = 1.293799982 ∨ z = -1.669797978

Damit ist b) und c) fast nicht zu machen.

c) Zerlegen Sie p in (komplexe) Linearfaktoren.

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Die blau unterlegte Funktionsgleichung wurde in einer neuen Version der Fragestellung geändert. Nachher wurden die Fragen offenbar zusammengefügt.

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c)

p(z) = 2·z^4 + 2·z^3 - 2·z^2 + 2·z - 4 = 2·(z - 1)·(z + 2)·(z + i)·(z - i)

Hier kann man jetzt auch die Nullstellen ablesen, die man davor ermitteln sollte. Das kann über eine Wertetabelle geschehen. Die letzten Nullstellen bekommt man durch Polynomdivision bzw. durch das Horner Schema.

Answer 2

p(z) = 2·z^4 + 2·z^3 - 2·z^2 - 2·z - 4

Zu a) p(i)= 2-2i+2-2i-4, weil i²=-1 und i⁴=1.

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Die blau unterlegte Funktionsgleichung wurde in einer neuen Version der Fragestellung geändert. Nachher wurden die Fragen offenbar zusammengefügt.

Answer 3

c.)Zerlegen Sie p in (komplexe) Linearfaktoren.

Polynom p(z): = 2z^4 + 2z^3 - 2z^2 + 2z - 4

Zuerst kannst du mal den Faktor 2 ausklammern.

p(z): = 2(z^4 + z^3 - z^2 + z - 2) 

Nullstellen erraten: z=1 ist ein Nullstelle von p(z). usw.

Die andern Teilaufgaben helfen auch auf dem Weg zur Lösung, falls du dort schon auf ein /zwei Nullstellen von p(z) gestossen bist.

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Aus

a) Berechnen Sie p(i).

weisst du, dass i eine Nullstelle ist.

Da das Polynom reell ist, ist automatisch -i auch eine Nullstelle (Du musst dir den Namen dieser Nullstellensatzes unbedingt heraussuchen und merken!).

Es folgt somit aus Aufgabe a) , dass du in p(z) den Faktor  (z+i)(z-i) = z^2 + 1 ausklammern kannst. 

Ansatz: 2(z^4 + z^3 - z^2 + z - 2)  = 2(z^2 + 1)*(z+a)(z+b) 

Nun entweder Polynomdivision und pq-Formel oder direkt a und b raten. 

Answer 4

a.)Zerlegen Sie p in (komplexe) Linearfaktoren.

b.)Polynom p(z): = 2z^4 + 2z^3 - 2z^2 + 2z - 4

Die Faktorenzerlegung im Reellen ist (z-1)(z+2)(z²+1) und z²+1 ist im Komplexen zerlegbar in (z+i)(z-i).

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Inwiefern ist z²+1 im Reellen ein Linearfaktor?

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Es ist ein Faktor, der sich im reellen nicht weiter zerlegen lässt. Kein Linearfaktor :)

Habe das oben korrigiert, in der Annahme, dass das meine Antwort war. (Wurde mir als Reaktion auf meine Antwort angezeigt (?))