alle k ∈ Z die Elemente ±ε^k Einheiten in Z[√2] sind.

Question

Aufgabe: Sei Z[√2] und ε = 1 +√2 ∈ Z[√2]. Zeigen Sie, dass für alle
k ∈ Z die Elemente ±\(ε^k\)  Einheiten in Z[√2] sind.

Problem/Ansatz: Das ±\(ε^k\) Einheiten in Z[√2] sein müssten ist für mich ziemlich logisch nur leider komm ich nicht wirklich drauf, wie ich das richtig beweisen soll. Als erstes habe ich versucht einfach für k verschiedene Zahlen einzusetzen und dann kam immer etwas in der Form von a + b*√2 raus, aber ich kam damit nicht wirklich weiter

Hat jemand von euch eine Idee. Auf eine Antwort würde ich mich wirklich sehr freuen. :)

Comments

Es ist (1 + √2)·(-1 + √2) = 1, also ε eine Einheit.
Wenn ε eine Einheit ist, dann gibt es ein α mit ε·α = 1. Es folgt 1 = 1^k = (ε·α)^k = ε^k·α^k.

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Danke perfekt. Das kann man ja dann eigentlich ziemlich gut mit der Induktion beweisen. Ich wünsche dir noch einen schönen Abend:)

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Nein. Nur wenn man sich das Leben unnötig schwer machen möchte. Die Einheiten bilden eine Gruppe die -1 enthält. Fertig