Zeigen Sie: Die Matrix A+A^T ist symmetrisch und die Matrix A-A^T ist schiefsymmetrisch.

Question

Es sei A eine Quadratische Matrix mit reellen Einträgen. Zeigen Sie:

Die Matrix A+A^T ist symmetrisch und die Matrix A-A^T ist schiefsymmetrisch.

Ich komme nicht weiter.

Answer 1

symmetrisch bedeutet:

C^T=C

Schiefsymmetrisch bedeutet:

C^T=-C

Setze nun für C links A+A^T bzw. A-A^T ein

(A+A^T)^T=A^T+(A^T)^T)=A^T+A=(A+A^T) ✓

da das doppelte transponieren(A^T)^T)  wieder die Ausgangmatrix ergibt.

Ähnlich für den zweiten Fall:

(A-A^T)^T=A^T-(A^T)^T=A^T-A=-(A-A^T) ✓

Answer 2

Hallo Lisa,

A^T  ergibt sich aus A  dadurch, dass die Spalten von A als Zeilen geschrieben werden.

Betrachten wir ein Beispiel:

A  =  \(\begin{pmatrix} 1&4&7\\ 2&5&8\\ 3&6&9\end{pmatrix}\)  ,   A^T  =  \(\begin{pmatrix} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\end{pmatrix}\)

A + A^T  =  \(\begin{pmatrix} 2&6&10\\ 6&10&14\\ 10&14&18\end{pmatrix}\)

A - A^T  =   \(\begin{pmatrix} 0&2&4\\ -2&0&2\\ -4&-2&0\end{pmatrix}\)

Beim Transponieren werden nur die spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten) liegenden Elemente der Matrix vertauscht.

Beim Addieren hat die Summe an diesen Stellen also jeweils die gleichen Summanden, also den gleichen Wert

            Das nennt man "Matrix symmetrisch"

Beim Subtrahieren hat die Differenz an diesen Stellen jeweils nur das entgegengesetzte Vorzeichen.

           Das nennt man "Matrix schiefsymmetrisch"

Gruß Wolfgang

Comments

Müssen das nicht 18 sein bei 9+9?

Bzw. reicht das als Beweis ?

---

Jedem, der reinen Herzens ist, reicht das als Beweis. Es gibt aber viele Propheten der Mathematik, die verbale Begründungen  zugunsten formaler Beweisgebilde ablehnen. Vielleicht haben sie ja Schwierigkeiten mit der deutschen Sprache.

Das bezieht sich ausdrücklich nicht auf die Antwort von jc2144. Seine Antwort ist TOP!

Müssen das nicht 18 sein bei 9+9?

Ja , ein den vielen 14ern geschuldeter Tippfehler, habe ihn korrigiert

---

Kommentar hat sich erledigt.