Ich muss folgende Aufgabe lösen für welche ich schon eine Beweis gemacht habe, jedoch würde ich mich um eine zweite Meinung freuen und Vorschläge bzw. Ergänzungen hören. Insbesonders frage ich mich ob mein Beweis an sich aussreicht oder muss ich noch andere Aspekte aus den Körper des Rangs 4 einbeziehen?
gegebene Hilfestellung zur Aufgabe:
Völlig analog zu den reellen Zahlen definieren wir für einen beliebigen
Körper K eine Teilmenge L Teilmenge von K aus dem Raum 2 als Gerade, falls es a,b,c elemente aus K gibt wobei gilt (a, b) ungleich (0, 0)
sodass
$$L=\{(x,y) \in K^2; ax+by-c=0\}$$
Aufgabe selber:
$$ \text{Sei } K=\mathbb{F}_4 . \text{ Seien }α,β \in K. \text{ Bestimmen Sie alle Punkte auf der Geraden: } \\ L=\{(x,y) \in K^2 ; αx+ βy=1\}$$
Mein Beweis dazu:
$$\\\text{ Aus der Definition eines Körpers geht hervor dass 0 das neutrale Element von (K,+) ist} \\\Longrightarrow 0 \in \mathbb{K} \land α,β \in \mathbb{K}\Longrightarrow (α=0,β=0) \lor (α \neq 0,β \neq0) \lor (α \neq 0,β=0) \lor (α=0,β\neq0) \\\text{ Aus der definition einer gerade folgt aber:} \lnot(α=0,β=0) \lor (α \neq 0,β \neq0) \lor (α \neq 0,β=0) \lor (α=0,β\neq0)\\\Longrightarrow (α \neq 0,β \neq0) \lor (α \neq 0,β=0) \lor (α=0,β\neq0) \\[10pt] \\[5pt] \text{Fall 1:} \\α \neq 0\land β \neq 0 \Longrightarrow \\ αx+βy=1 \\βy=-αx+1 \\y=\frac{-α}{β}*x+\frac{1}{β}\\\text{ Alle punkte der Geraden befinden sich in der Lösungsmenge:} \{ y=\frac{-α}{β}*x+\frac{1}{β}\} \Box \\\text{Fall 2:} \\α \neq 0 \land b=0 \Longrightarrow \\αx+βy=1 \\ αx=1 \\x=\frac{1}{α} \\\text{ Alle punkte der Geraden befinden sich in der Lösungsmenge:} \{x=\frac{1}{α}\} \Box \\\text{ Fall 3:} \\α=0 \land b\neq 0 \Longrightarrow \\αx+βy=1 \\βy=1 \\y= \frac{1}{β} \\\text{ Alle punkte der Geraden befinden sich in der Lösungsmenge:} \{y= \frac{1}{β}\}\Box \\\blacksquare$$
Es würde mich freuen ob jemand mir sagen kann ob der Beweis an sich so richtig ist oder muss ich andere Axiome aus den Körpern hinzuziehen um die Aufgabe zu erfüllen?
