Hallo Lisa,
Wenn Du diese Gleichung $$8x^{4}+22x^{3}+26x^{2}+13x+3=(cx^{2}+dx+e)(4x^{2}+3x+1)$$ aus multiplizierst und alle Terme mit gleichem Exponenten von \(x\) gleich setzt, dann erhältst Du $$\begin{aligned} 8 x^4 &= 4cx^4 \\ 22x^3 &= 3cx^3 &&+ 4dx^3 \\ 26x^2 &= 1cx^2 &&+ 3dx^2 &&+ 4ex^2 \\ 13x &= &&+ 1dx &&+3ex \\3 &= && && +1e \end{aligned}$$ Dieses 'Gleichsetzen' ist hier zulässig,da die Gleichung ja für jeden Wert, den \(x\) annehmen kann, erfüllt sein muss. Es ergibt sich ein Lineares Gleichungsystem mit den Unbekannten \(c\), \(d\) und \(e\), wobei jede Zeile für einen Faktor \(x^k, \space k \in [0;4]\) steht. In Matrix-Schreibweise sieht das so aus: $$ \color{grey}{\begin{array}{} x^4 \\ x^3 \\x^2 \\ x^1 \\ x^0 \end{array}} \begin{pmatrix}8\\ 22\\ 26\\ 13\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4& 0& 0\\ 3& 4& 0\\ 1& 3& 4\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}c\\ d\\ e\end{pmatrix}$$ Dieses Gleichungssystem ist überbestimmt; 3 Unbekannte bei 5 Gleichungen. Es reicht also aus, drei der fünf Zeilen zu übernehmen. Man nimmt am besten die, mit möglichst vielen 0'en, also die erste, die letzte und vielleicht die vorletzte: $$\begin{pmatrix}8\\ 13\\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}4& 0& 0\\ 0& 1& 3\\ 0& 0& 1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}c\\ d\\ e\end{pmatrix}$$ Und dies lässt sich leicht lösen, wie Grosserloewe es schon gezeigt hat: $$c = \frac84 = 2; \quad e=3 \space \implies d = 13- 3e = 4$$ auf diese Art und Weise kannst Du dann alle Aufgaben dieses Typs lösen, egal nach wie vielen Koeffizienten gefragt wurde.
