Sei G := ℤ × ℤ und sei ⊕ wie folgt definiert: Für alle (a, b),(c, d) ∈ G sei (a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d)
(”komponentenweise Addition“).
Zeigen Sie, dass (G, ⊕) eine Gruppe ist!
Mein Ansatz:
(Assoziativität) Für alle (a,b), (c,d), (e,f) ∈ G gilt:
((a,b) • (c,d)) • (e,f) = (a,b) • ((c,d) • (e,f))
= (a+c)+e, (b+d)+f = a+(c+e), b+(d+f)
= a+c+e, b+d+f = a+c+e, b+d+f
(Existenz neutraler Elemente) Es gibt ein e ∈ G, so dass für alle (a,b) ∈ G gilt:
e ⊕ (a,b) = (a,b) Für e=0 als neutrales Element ist dies erfüllt, da 0+(a,b) =(a,b)
(Existenz inverser Elemente) Zu jedem (a,b) ∈ G gibt es ein (a,b)-1 ∈ G mit (a,b)-1 ⊕ (a,b) = e Für (a,b)-1 = -(a,b) ist dies erfüllt, denn -(a,b) + (a,b) = e = 0
(a,b)(c,d) = a+c, b+d = (c,d)(a,b) = c+a, d+b Gruppe ist abelsch!
Kann man das überhaupt so schreiben, oder ist das vielleicht auch absoluter Blödsinn den ich da ermittelt habe?