Zeigen Sie, dass (G, ⊕) eine Gruppe ist! Für alle (a, b),(c, d) ∈ G sei (a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d)

Question

Sei G := ℤ × ℤ und sei ⊕ wie folgt definiert: Für alle (a, b),(c, d) ∈ G sei (a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d)
(”komponentenweise Addition“).
Zeigen Sie, dass (G, ⊕) eine Gruppe ist!

Mein Ansatz:

(Assoziativität) Für alle (a,b), (c,d), (e,f) ∈ G gilt:

((a,b) • (c,d)) • (e,f) = (a,b) • ((c,d) • (e,f))

= (a+c)+e, (b+d)+f = a+(c+e), b+(d+f)

= a+c+e, b+d+f = a+c+e, b+d+f

(Existenz neutraler Elemente) Es gibt ein e ∈ G, so dass für alle (a,b) ∈ G gilt:

e ⊕ (a,b) = (a,b) Für e=0 als neutrales Element ist dies erfüllt, da 0+(a,b) =(a,b)

(Existenz inverser Elemente) Zu jedem (a,b) ∈ G gibt es ein (a,b)^-1 ∈ G mit (a,b)^-1 ⊕ (a,b) = e Für (a,b)^-1 = -(a,b) ist dies erfüllt, denn -(a,b) + (a,b) = e = 0

(a,b)(c,d) = a+c, b+d = (c,d)(a,b) = c+a, d+b Gruppe ist abelsch!

Kann man das überhaupt so schreiben, oder ist das vielleicht auch absoluter Blödsinn  den ich da ermittelt habe?

Answer 1

Bei der Assoziativität hast du in der letzten Zeile die

Klammern vergessen und vielleicht den Hinweis:

Wegen der Asso. in Z gilt: …………..

Das e ist nicht 0, sondern (0,0) , das muss doch in G sein.

Entsprechend bei den Inversen, und zuletzt besser so

(a,b)(c,d) = (a+c, b+d) =

(weil Z,+ abelsch ist )

(c+a, d+b)

=  (c,d)(a,b)

Also Gruppe ist abelsch!

Comments

Yay, mein Liebelingsantwortgeber.^^

Danke für die Hinweise! Weiss nicht ob ich jetzt ne neue Frage stellen müsste, aber wie wäre es denn mit komponentenweiser Multiplikation der Gruppe G?

Assoziativität, wäre ja eig gleich nur anderes Zeichen " * ", das neutrale Element wäre dann ja (1,1) nur beim Inversen Element bin ich verunsichert, das wäre ja dann (\( \frac{1}{ab} \), \( \frac{1}{ab} \)) das würde doch dann element der ℝ sein und nicht ℤ und somit ist es keine Gruppe oder doch?^^ Nee (\( \frac{1}{a} \), \( \frac{1}{b} \))

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Ganz recht :  (Z,*) ist ja auch keine Gruppe wegen fehlender

Inverser.

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Jetzt hast du mich verunsichert, also gibt es noch einen anderen Grund?

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(Z,*) ist eine andere mögliche Gruppe als (G,*) . 

Deshalb das "auch".