Surjektivität beweisen aber wie ?

Question

Hallöchen Community,

ich bearbeite gerade folgende Aufgabe:

Seien α und β Abbildungen von ℤ nach ℤ, für alle z∈ℤ seinen z^α = -z  und  z^β = z-3 . Zeigen sie das β bijektiv ist.

ich kann beweisen das β injektiv ist aber irgendwie schaffe ich es nicht zu zeigen das es auch surjektiv ist. Wäre nett wenn mir jemand zeigen kann wie ich hier die Surjektivität von β beweisen kann.

:)

Comments

Also ich hab's so gemacht:

Injektiv: Sei x,y ∈ ℤ und sei x^β = y^β. Dann gilt x-3 = y-3. Daraus folgt x=y. Also ist β injektiv.

Surjektiv: Sei x ∈ ℤ beliebig, so ist ein Urbild gegeben durch x+3. Denn (x+3)^β = (x+3)-3 =x. Daher ist β surjektiv.

Somit ist β bijektiv.

Angaben ohne Gewähr, bin selber nicht so gut darin. Sag mal! Hast du die 3te Aufgabe schon gemacht, mit den Gruppen bestimmen?^^

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Ne die habe ich noch vor mir xD

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Kannst mir ja mal sagen ob du das dann auch so ähnlich hast wie ich, da reagiert leider iwi keiner drauf: Für a

https://www.mathelounge.de/587691/zeigen-sie-dass-eine-gruppe-ist-fur-alle-a-b-c-d-g-sei-a-b-c-d-a-c-b

Bei c bin ich mir unsicher, da das Inverse Element ja \( \frac{1}{ab} \) ist und das ja eig element der ℝ und nicht ℤ ist, ach hab da iwi keinen Plan grad und b muss ich noch machen.^^ Kannst dich ja mal melden.^^

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dein Ansatz sieht gut aus aber ich weiss nicht ob das denen reicht. Ich muss ehrlich sein; ich verstehe nur Bahnhof wenn ich das Thema auseinander nehme :x

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Kannst du

z^{α} = -z

einmal vorlesen?

Ich sehe die "Abbildung" nicht. Was wird denn wohin abgebildet?

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nah α: ℤ→ℤ und definiert durch für alle z∈ℤ sei z^α = -z

oder was meinst du ?

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Nochmals zu https://www.mathelounge.de/586113/gruppenhomomorphismus-seien-abbildungen-nach-alle-seien ?