Surjektivität wie beweisen?

Question

Aufgabe:

Wie kann ich bei der folgenden Funktion surjektivität beweisen?

J(z) = 1/2*(z + 1/z)

Danke

Problem/Ansatz:

Answer 1

Zeige dass die Gleichung

        y = 1/2*(z + 1/z)

für jedes y aus der Zielmenge eine Lösung hat.

Comments

genau, aber das kriege ich nicht ganz hin weil ich das z nicht auf eine Seite bringen kann

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\(\begin{aligned} &  & y & =\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)\\ & \implies & y & =\frac{1}{2}z+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{z}\\ & \implies & y & =\frac{1}{2}z+\frac{1}{2z}\\ & \implies & 2z\cdot y & =2z\cdot\left(\frac{1}{2}z+\frac{1}{2z}\right)\\ & \implies & 2z\cdot y & =2z\cdot\frac{1}{2}z+2z\cdot\frac{1}{2z}\\ & \implies & 2z\cdot y & =\frac{2z\cdot1\cdot}{2}+\frac{2z\cdot1}{2z}\\ & \implies & 2z\cdot y & =\frac{z}{2}+1\\ & \implies & 2z\cdot y-\frac{z}{2} & =1\\ & \implies & \left(2y-\frac{1}{2}\right)z & =1\\ & \implies & z & =\frac{1}{2y-\frac{1}{2}} \end{aligned}\)

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Vielen Dank!

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der 5.Schritt stimmt doch nicht ganz, 1/2*z * 2z ist doch z^2?

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Ja, da muss \(z^2\) hin.