Bestimmen Sie die zur Ebene E: 4x1 + 4x2 -7x3 =40,5 orthogonale Gerade g durch O(0|0|0) und den Schnittpunkt F der …

Question

Aufgabe:

a) Bestimmen Sie die zur Ebene E: 4x1 + 4x2 -7x3 =40,5 orthogonale Gerade g durch O(0|0|0) und den Schnittpunkt F der Geraden g mit der Ebene E.

b) Bestimmen Sie alle Punkte auf g, die von der Ebene E den Abstand 3 haben.

Problem/Ansatz:

a) konnte ich lösen: g: x = t * (4,4,-7) und Schnitt bei t=0,5 => F(2|2|-3,5)

Aber wie muss ich bei b) vorgehen? Ich habe da keine Idee. Bitte ohne Hesse, die Form darf ich nciht verwenden. und LG

Answer 1

Gerade g: x=(0/0/0)+r*(4/4/-7)

Abstand von 2 Punkten im Raum Betrag |d|=Wurzel((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)

d²=3²=9=(x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²

Schnittpunkt der Geraden mit der Ebene P1(x1/y1/z1)

ergibt dann 9=... P(x2/y2/z2)

Betrag eines Vektors |d|=Wurzel(x²+y²+z²)

Hinweis:Der gesuchte Punkt liegt einmal rechts von der Ebene und einmal links von der Eben → wird gespiegelt

Comments

Könntest du das nochmal verrechnen? Ich komme da nicht ganz mit.

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dein Schnittpunkt stimmt F(2/2/-3,5) → P1(x1/y1/z1) → P1(2/2/-3,5)

P2(x2/y2/z2) ist der Punkt auf der Geraden x=(0/0/0)+r*(4/4/-7)

x2=4*r

y2=4*r

z2=-7*r

Betrag |d|=Wurzel((x2-x1)²+(y2-y1)²+(z2-z1)²)

d²=3²=9=(x2-2)²+(y2-2)²+(z2+7)²

binomische Formel (x-b)²=x²-2*b*x+b²

(x+b)²=x²+2*b*x+b²

9=x2²-4*x2+4+y2²-4*y2+4+z2²+14*z2+49

9=(4*r)²-4*(2*r)+4+(4*r)²-4*(4*r)+4+(-7*r)²+14*(-7*r)+49

das ist einen Gleichung mit der Unbekannten r → ist eine Parabel der Form

0=a2*x²+a1*x+ao

0=(......)-9

die beiden Nullstellen sind die beiden Punkte,die auf der Geraden liegen und den Abstand d=3 von der Ebene haben

Answer 2

P1/2 = [2, 2, -3.5] ± 3/|[4, 4, -7]| * [4, 4, -7]

P1 = [2/3, 2/3, -7/6]

P2 = [10/3, 10/3, -35/6]

Comments

Vielen Dank erstmal, aber wie kommt man auf diesen Weg? Und was bedeutet der Schrägstrich nach der 3 in der ersten Zeile?

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/ kennzeichnet einen Bruchstrich.

Du gehst also vom Schnittpunkt mit der Ebene genau 3 Einheiten auf der Geraden entlang und das in beide Mögliche Richtungen. Dazu bildest du einmal den Betrag vom Richtungsvektor und teilst die 3 eben gerade durch den Betrag.

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Kannst du das viele kleinschrittiger machen? Ich verstehe leider gar nicht wie man das ausrechnen kann.

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Wobei scheitest du denn ? Den Betrag des Normalenvektors auszurechnen?

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Nein, ich habe es ausgerechnet und es stimmt, aber kann das auch allgemein so machen? Ich habe eine ähnliche Aufgabe, sber weiß nicht wie ich da vorgehen soll, weil ich das nicht nachvollziehen kann. Wenn man die Ebene e: 2x+10y+11z=252 hat und die gerade g: (-6,4,4) +r× (-3,1,1) hat. Wie würde ich da vorgehen? Ich brauche alle punkte mit dem Abstand 15.

Wäre der Ansatz ähnlich?

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Deine Gerade verläuft jetzt ja nicht mehr senkrecht zur Ebene. Dann darfst du das nicht machen. Der einfachste Weg wäre jetzt die Abstandsform der Ebene zu benutzen.

[-6, 4, 4] + r·[-3, 1, 1] = [-3·r - 6, r + 4, r + 4]

|2·(-3·r - 6) + 10·(r + 4) + 11·(r + 4) - 252| / √(2^2 + 10^2 + 11^2) = 15 --> r = -3 ∨ r = 27

[-6, 4, 4] - 3·[-3, 1, 1] = [3, 1, 1]

[-6, 4, 4] + 27·[-3, 1, 1] = [-87, 31, 31]