Zeigen Sie, dass es einen Vektor v ∈ V \{0} mit s(v, v) = 0 gibt.

Question

Aufgabe:

Sei V ein endlich dimensionaler ℝ-Vektorraum und s eine indefinite symmetrische Bilinearform.

Zeigen Sie, dass es einen Vektor v ∈ V \{0} mit s(v, v) = 0 gibt.

Problem/Ansatz:

Also die ganzen Definitionen zum Vektorraum, indefinite sym. Bilinearform kenne ich, aber irgendwie finde ich keinen Zusammenhang zum gesuchten Vektor v, der s(v,v) = 0 ergeben soll.

Hat Jemand eine Idee oder einen Lösungsvorschlag?

Answer 1

Hallo,

indefinit bedeutet doch, dass es einen Vektor v gibt mit s(v,v)<0 und einen Vektor w mit s(w,w)>0. Betrachte nunt

$$f(t):=s \left(tv+(1-t)w,tv+(1-t)w\right), \quad t \in [0,1]$$

- Durch "Ausmultiiplizieren" der Bilinearform kannst Du Dich überzeugen, dass f stetig ist.

- Der Zwischenwertsatz liefert die Behauptung.

Gruß Mathhilf