Zeigen Sie, dass dann für jeden Vektor x ∈ V eindeutige reelle Zahlen x1, .

Question

Hallo, mir wurde folgende Aufgabe gestellt:

Sei V ein Vektorraum und v1, . . . , vn eine Basis. Zeigen Sie, dass dann für jeden Vektor x ∈ V eindeutige reelle Zahlen x1, . . . , xn ∈ R existieren, so dass
x=x1v1 +...+xnvn gilt.

Ich habe das Thema nicht ganz verstanden.

Kann mir wer einen Ansatz oder die Lösung geben ?

Answer 1

Eine Basis ist ja insbesondere ein Erzeugendensystem.

Also existieren für jeden Vektor x ∈ V reelle Zahlen x1, . . . , xn ∈ R , so dass
x=x1v1 +...+xnvn gilt. kurz: v lässt sich als Linearkombination der

Basisvektoren darstellen.

Um zu zeigen, dass diese Zahlen eindeutig bestimmt sind, nimm an,

es sei x ∈ V und es gibt zwei Darstellungen

x=x1v1 +...+xnvn   und  x=y1v1 +...+ynvn

==> x1v1 +...+xnvn  =y1v1 +...+ynvn

==>  (x1-y1)*v1 + .... + (xn-yn)vn = 0-Vektor

Da die Basisvektoren linear unabhängig sind, folgt

  x1-y1= 0    und .... und (xn-yn) = 0

also in der Tat für x1=y1 und ... xn=yn

Also sind die Zahlen jeweils gleich, die

Darstellung ist also eindeutig bestimmt.