Zeigen oder widerlegen Sie: (i) Ein einzelner Vektor v ∈ V ist linear unabhängig genau dann, wenn v ̸= 0.

Question

Aufgabe.

Sei V ein K-Vektorraum. Zeigen oder widerlegen Sie: (i) Ein einzelner Vektor v ∈ V ist linear unabhängig genau dann, wenn v ̸= 0.
(ii) Sind v1, v2 ∈ V linear abhängig, so existiert v ∈ V mit v1, v2 ∈ ⟨v⟩.
(iii) Sind v1, v2, v3 ∈ V paarweise linear unabhängig, so auch v1, v2, v3.
(iv) Sind v1, v2 ∈ V und v2, v3 ∈ V linear abhängig, so auch v1, v3, falls v2 ̸= 0.
(v) Sind v1,...,vn ∈ V linear unabhängig, so bilden sei eine Basis von ⟨v1,...,vn⟩.

Answer 1

(i) Ein einzelner Vektor v ∈ V ist linear unabhängig genau dann, wenn v ̸= 0.

stimmt; denn : Sei x ∈ K mit  x*v = 0-Vektor ==>   x=0 , da v≠0.

(ii) Sind v1, v2 ∈ V linear abhängig, so existiert v ∈ V mit v1, v2 ∈ ⟨v⟩.  Stimmt:

Sind v1, v2 ∈ V linear abhängig ==>   es gibt eine Linearkombination

                                  x*v1 + y*v2   = 0   mi x≠0 toder y≠0

Sei o.B.d.A.  x≠0 dann gilt  xv1 = -yv2

                                              v1 = (-y/x)*v2 also v1 und v2 in <v2|> .

       

Comments

UND (iii),(iv),(v) ???

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zu III)

reicht es folgendermaßen zu argumentieren?

laut Wikipedia Definition:

Eine [Familie von Vektoren] heißt linear unabhängig, wenn jede hierin enthaltene endliche Teilfamilie linear unabhängig ist

(v1, v2, v3) bilden eine Familie. Da alle Vektoren paarweise linear unabhängig sind, also jede "endliche Teilfamilie" linear unabhängig ist, ist auch (v1, v2, v3) linear unabhängig.


Noch dazu eine Frage, kann man den Begriff "Familie" durch "Menge" oder "Folge" ersetzen?

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Noch dazu eine Frage, kann man den Begriff "Familie" durch "Menge" oder "Folge" ersetzen?

Folge von Elementen einer Menge M ist  eine Abbildung von

ℕ nach M. Sind also immer unendlich viele, von denen natürlich

manche oder sogar alle den gleichen Wert haben können.

Bei Menge kommt es nicht auf die Reihenfolge an, also

{1;2} = {2;1}   bei Familie sind die Elemente indiziert.

Betrachte mal zu iii) die Vektoren von R^3

(1;1;0) ; (1;2;0) ; (1;0;1) ; (0;1;1) .

Answer 2

Hallo

du musst eben immer wieder die Def. von linear unabhängig benutzen, dazu ist die Aufgabe da, damit du damit wirklich vertraut wirst!  (in v noch die Definition einer Basis,)

Gruß lul