Aufgabe:
Wie kann ich bei der folgenden Funktion surjektivität beweisen?
J(z) = 1/2*(z + 1/z)
Danke
Problem/Ansatz:
Zeige dass die Gleichung
y = 1/2*(z + 1/z)
für jedes y aus der Zielmenge eine Lösung hat.
genau, aber das kriege ich nicht ganz hin weil ich das z nicht auf eine Seite bringen kann
y=12(z+1z) ⟹ y=12z+12⋅1z ⟹ y=12z+12z ⟹ 2z⋅y=2z⋅(12z+12z) ⟹ 2z⋅y=2z⋅12z+2z⋅12z ⟹ 2z⋅y=2z⋅1⋅2+2z⋅12z ⟹ 2z⋅y=z2+1 ⟹ 2z⋅y−z2=1 ⟹ (2y−12)z=1 ⟹ z=12y−12\begin{aligned} & & y & =\frac{1}{2}\left(z+\frac{1}{z}\right)\\ & \implies & y & =\frac{1}{2}z+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{z}\\ & \implies & y & =\frac{1}{2}z+\frac{1}{2z}\\ & \implies & 2z\cdot y & =2z\cdot\left(\frac{1}{2}z+\frac{1}{2z}\right)\\ & \implies & 2z\cdot y & =2z\cdot\frac{1}{2}z+2z\cdot\frac{1}{2z}\\ & \implies & 2z\cdot y & =\frac{2z\cdot1\cdot}{2}+\frac{2z\cdot1}{2z}\\ & \implies & 2z\cdot y & =\frac{z}{2}+1\\ & \implies & 2z\cdot y-\frac{z}{2} & =1\\ & \implies & \left(2y-\frac{1}{2}\right)z & =1\\ & \implies & z & =\frac{1}{2y-\frac{1}{2}} \end{aligned}⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹⟹yyy2z⋅y2z⋅y2z⋅y2z⋅y2z⋅y−2z(2y−21)zz=21(z+z1)=21z+21⋅z1=21z+2z1=2z⋅(21z+2z1)=2z⋅21z+2z⋅2z1=22z⋅1⋅+2z2z⋅1=2z+1=1=1=2y−211
Vielen Dank!
der 5.Schritt stimmt doch nicht ganz, 1/2*z * 2z ist doch z2?
Ja, da muss z2z^2z2 hin.
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