Sei G := ℤ × ℤ und sei ⊕ wie folgt definiert: Für alle (a, b),(c, d) ∈ G sei (a, b) ⊕ (c, d) := (a + c, b + d)
(”komponentenweise Addition“).
Sei U := {(a, b) ∈ G | a ist gerade.}. Ist (U, ⊕) eine Untergruppe von (G, ⊕)?
Mein Ansatz:
https://www.mathelounge.de/587691/zeigen-sie-dass-eine-gruppe-ist-fur-alle-a-b-c-d-g-sei-a-b-c-d-a-c-b
hier ist schon mal das neutrale und inverse Element von G ermittelt
e = (0,0) und (a,b)-1 = (-a,-b)
Hab jetzt gelesen: Wenn U eine Untergruppe von G ist, dann gilt:
Das neutrale Element in U ist das selbe wie in G
Das Inverse Element eines Elements a in U, ist das selbe Inverse Element wie das für a in G.
Mal probiert:
Für alle 2a,b ∈ U ist stets 2a ⊕ b ∈ U
(neutrales Element) e ⊕ (2a,b) Für e=(0,0) ist dies erfüllt, da (0,0) + (2a,b) = (2a,b)
(inverses Element) Zu jedem (2a,b) ∈ U gibt es ein (2a,b)-1 ∈ U mit (2a,b)-1 ⊕ (2a,b) = e Für (2a,b)-1 = (-2a,-b) wäre dies erfüllt, aber (-2a,-b) ≠ (-a,-b), somit nicht dasselbe inverse Element in G und deshalb ist U auch keine Untergruppe von G?
Kann man das machen? Habe hier wirklich keinen Ahnung. -.-
