Zeigen Sie, dass der Vektorraum V = C(R) aller stetigen Funktionen unendlich-dimensional ist

Question

Aufgabe:

 Zeigen Sie, dass der Vektorraum V = C(R) aller stetigen Funktionen unendlich-dimensional ist, indem sie eine explizite Folge f1,f2,... von linear unabhängigen stetigen Funktionen angeben

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Vom Duplikat:

Titel: Zeigen Sie, dass der Vektorraum V = C(R) aller stetigen Funktionen unendlich-dimensional ist

Stichworte: unabhängig,vektoren,folge,dimension,funktion

Aufgabe:

 Zeigen Sie, dass der Vektorraum V = C(R) aller stetigen Funktionen unendlich-dimensional ist, indem sie eine explizite Folge f1,f2,... von linear unabhängigen stetigen Funktionen angeben

Answer 1

Die Folge (x↦xⁿ)_n∈ℕ der Potenzfunktionen ist linear unabhängig.

Comments

Kannst du das vielleicht Gebauer erklären? Sitze an der selben Aufgabe und verstehe absolut nichts.

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Natürlich kann ich das auch genauer erklären. Ich möchte jetzt aber keine vollständige Abhandlung über die Dimension von Vektorräumen schreiben. Das wäre aber notwendig, wenn du tatsächlich nichts verstanden hättest. Bitte teile mir deshalb mit, welche Fachbegriffe du verstanden hast und welche Zusammenhänge du zwischen den Fachbegriffen kennst.

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Im Prinzip verstehe ich nur nicht, wie man so aus dem Nichts auf die Folge kommt

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Ich bin nicht "aus dem Nichts" auf die Folge gekommen. Ich habe mehrere Erkentnisse aus meiner Schulzeit miteinander verknüpft:

1. Der Begriff linear unabhängig führt zu Linearkombination.
2. Ganzrationale Funktionen sind Linearkombinationen von Potenzfunktionen.
3. Jede Linearkombination von ganzrationalen Funktionen vom Grad ≤ n hat höchstens den Grad n.