Question

Sei V = C (R) der reelle Vektorraum aller stetigen Funktionen.
Wir betrachten die Abbildung A : V → V , welche eine Funktion f(x) auf die
Funktion f(x + 1) schickt. Zeigen Sie, dass das Spektrum dieses Endomorphismus durch
σ(A) = {λ ∈ R | λ 6= 0}
gegeben ist. Verwenden Sie dabei die Expenonentialfunktion exp(x) sowie
die trigononmetrische Funktion sin(x), um entsprechende Eigenvektoren zu
konstruieren.

Comments

Hallo

 was bedeutet "λ 6= 0" da muss ja wohl was anderes stehen?

Gruß lul

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σ (A) = {λ R | λ ≠ 0}

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Vom Duplikat:

Titel: Sei V = C (R) der reelle Vektorraum aller stetigen Funktionen....

Stichworte: vektorraum,funktion,vektoren,unabhängig,folge

Sei V = C (R) der reelle Vektorraum aller stetigen Funktionen.
Wir betrachten die Abbildung A : V → V , welche eine Funktion f(x) auf die
Funktion f(x + 1) schickt. Zeigen Sie, dass das Spektrum dieses Endomorphismus durch
σ(A) = {λ ∈ R | λ ≠ 0}
gegeben ist. Verwenden Sie dabei die Expenonentialfunktion exp(x) sowie
die trigononmetrische Funktion sin(x), um entsprechende Eigenvektoren zu
konstruieren.

:)

Answer 1

Zeige das z.B. so

1. \( 0\notin \sigma(A)\)

2. \( \lambda \in \sigma(A)~\forall \lambda\in \mathbb{R}\backslash\{0\}\)

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1. Sei \(f\) ein Eigenvektor von \(A\), insb ist \(f\) also nicht der Nullvektor (hier: Nullfunktion), dann existiert ein Eigenwert \(\lambda\) s.d. $$A(f)=\lambda f$$ Da \( f\neq 0\) existiert \( x \in \mathbb{R} \) mit $$ f(x) \neq 0. $$ Nun ist aber $$ A(f)(x-1) = f(x) \neq 0 $$ und deshalb \( A(f)\neq 0 \implies \lambda \neq 0 \).

2. Sei \( \lambda\in \mathbb{R}\backslash\{0\}\). Betrachte die stetige Funktion $$ f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}, x\mapsto e^{ \ln(| \lambda |) x}$$dann ist $$ A(f)(x) = f(x+1) = e^{ \ln(| \lambda |) (x+1)} = e^{ \ln(| \lambda |)}e^{ \ln(| \lambda |) x} = |\lambda | f(x) $$ also ist \(f\) ein Eigenvektor von \( \lambda \) falls \( \lambda > 0 \).

Suche jetzt selbst noch einen Eigenvektor für \( \lambda < 0 \).