Jensen's Ungleichung benutzen um eine andere Ungleichung zu beweisen

Question

Aufgabe:

Für p ≥ 1 ist die p-Norm eines Vektors (x_1,...x_n) ist definiert als ||(x₁,...x_n)||_p = (|x₁|^p..+..|x_n|^p)^1/p  (also die p-te Wurzel davon).

Beweise mithilfe von Jensen’s Ungleichung die folgende Ungleichung zwischen p-Normen:

n^-1/s ||x_1... x_n||_s ≤ n^-1/p ||x₁... x_n||_p

für alle 1 ≤ s < p und n ≥ 1.

Hinweis: Betrachte die Funktion f(x) = x^p/s

Problem/Ansatz:

So sieht mein Ansatz aus... Ich hab mir gedacht, dass ich erst mal die gegebene Funktion in die Jensen's Ungleichung einsetze und dann umforme bis ich auf das Ergebnis komme... Allerdings bin ich leider ein Bisschen stecken geblieben :/

Kann mir hiermit jemand helfen? Wie sollte ich eigentlich vorangehen?

Vielen lieben Dank!! :)

Comments

Der Trick war die Ungleichung auf die richtigen Vektoren anzuwenden, nämlich (1/n,...,1/n) und (|x_1|^s,...,|x_n|^s). Habe im Antwort erläutert.

Answer 1

\(\frac{1}{n}^\frac{p}{s} \Vert x \Vert_s^p=\Big (\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\cdot |x_i|^s \Big)^\frac{p}{s}= f\Big (\sum_{i=1}^n \frac{1}{n}\cdot |x_i|^s \Big)  \\ \leq \sum_{i=1}^n  \frac{1}{n} \cdot  f(|x_i|^s)=\sum_{i=1}^n  \frac{1}{n} \cdot (|x_i|^s)^\frac{p}{s}= \frac{1}{n} \Vert x \Vert_p^p \)

Comments

Oh wow, tausend Dank!! Der Knoten hat sich endlich gelöst in meinem Kopf ^^ Eine Frage hätte ich in der Tat noch: Stand in der Aufgabe nicht

\( \frac{1}{n} \)^1/s ||x₁... x_n||_s ≤ \( \frac{1}{n} \)^1/p ||x₁... x_n||_p?

Weshalb hast du für die rechte Seite im Exponenten von \( \frac{1}{n} \) noch den Zähler p hinzugefügt?

Vielen Dank für deine Zeit!

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Ja, den letzten Schritt habe ich ausgelassen. Müsste nur den p-ten Wurzel auf beiden Seiten ziehen, dann steht da das Gewünschte:)

Viel Erfolg!

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Tut mir unglaublich Leid, dass ich wieder so doof frage, aber nur damit ich es richtig verstanden habe: Die Potenz \( \frac{1}{p} \) von \( \frac{1}{n} \) auf der linken Seite der Ungleichung verschwindet, nachdem man auf beiden Seiten die n-te Wurzel gezogen hat, nicht wahr?

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Ach herrje, ich hab mich bloß verrechnet gehabt ^^ Vielen Dank nochmal, du bist der Beste!

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Freut mich:)