Folgere aus der Ungleichung ∀k,n ∈ ℕ : d(xn,xn+k) ≤ (( Ln)/ ( 1−L)) * d(x0,x1) die andere Ungleichung

Question

Sei f : [a,b] → ℝ eine Funktion, die die Voraussetzungen des BFS erfüllt

(d.h. Bild(f) ⊆ [a,b] und f Kontraktion mit Konstante L < 1).

Sei x₀ ∈ [a,b] und (x_n) die im Beweis des BFS definierte rekursive Folge (also x_i = f(x_i−1) für i ≥ 1).

wie folgere ich aus dieser ungleichung:  ∀k,n ∈ ℕ : d(x_n,x_n+k) ≤ (( L_n)/ ( 1−L)) * d(x₀,x₁) . diese Ungleichung:

  ∀n ∈ℕ : d(x_n,x*) ≤ ((L_n)/ (1−L)) * d(x₀,x₁) , wobei x* der Grenzwert der Folge (x_n) ist.

kann mir da mal jemand helfen?

Comments

EDIT: Weisst du gerade noch, was BFS bedeutet?

---

Wie waere es mit \(k\to\infty\) ?

---

Was bfs ist weiss ich (banadcher fixpunktsatz).

Die Voraussetzungen sind doch folgende:

1) Es muss ein vollständiger metrischer Raum sein.

2) D muss zusammenhängend sein.

3) f muss Kontraktion sein: ||(f(x)-f(y)) ||≤λ ||(x-y)||

4) f(D) ⊂D

---

Ich bräuchte ganz hilfe

Es ist eine alte klausuraifgabe und ich schreibe morgen meine prüfung

---

wenn jetzt k→∞ läuft, wird k ja der Grenzwert ∞
dann wird aus n+k aus der ungleichung der grenzwert x*
∀k,n ∈ ℕ:d(x_n,x_n+k)≤(Lⁿ/ 1−L)⋅d(x₀,x1) erste ungleichung.
wenn nun aus n+k→x* folgt dann folgt daraus die ungleichung:
∀k,n ∈ ℕ:d(x_n,x*)≤(Lⁿ/1−L)⋅d(x₀,x₁)

würde das so ausreichen?

---

Wofuer? Fast jede Zeile ist ja zum Heulen.

---

Wie komm ich denn sonst von der einen zu der anderen ungleichung

---

"wenn jetzt k→∞ läuft, wird k ja der Grenzwert ∞"

Sinnloser Satz.

"dann wird aus n+k aus der ungleichung der grenzwert x*"

Ebenso.

"wenn nun aus n+k→x* folgt dann folgt daraus die ungleichung:"

Wie kann aus dem Index n+k der Grenzwert x^* werden?

Zu zeigen ist \(\lim_{k\to\infty}d(x_n,x_{n+k})=d(x_n,x^{*})\) für festes \(n\).

---

Zu zeigen ist  

lim k→∞ d(xn_,x_n+k)= d(x_n,x∗) für festes n

Wie kann ich das zeigen?