Handelt es sich bei der Funktion um eine Kontraktion?

Question

Aufgabe:
Untersuche, ob es sich um eine Kontraktion handelt

T: M→M
M = ℝ, T(x) = π/2 + x - arctan(x)

Problem/Ansatz:

Wenn ich T ableite, erhalte ich: 1 - 1/(x^2+1). Aber das maximum, das zwischen 0 und 1 liegt, ist 1. Somit wäre meine Konstante = 1 und das darf sie doch nicht sein? Sie muss doch strikt kleiner sein. Kann ich das anders abschätzen?
Für d(T(x_1),T(x_2) ≤ c*d(x_1,x_2)

Comments

Das x² im Nenner der Ableitung muss ein positives Vorzeichen haben.

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Danke. Aber das Problem bleibt dann doch bestehen. [Fragestellung ist korrigiert] 

Answer 1

Hallo

 meine Ableitung ist x^2/(x^2+1)<1 für alle endlichen x.

Gruß lul

Comments

Wie finde ich das maximum davon? Nochmal ableiten und null setzen?

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Nicht nötig. Der Nenner ist immer um 1 grösser als der Zähler.

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Oke jetzt erhalte ich am Schluss x_1 - x_2 - arctan(x_1) + arctan(x_2) < 0.5|x_1 - x_2|
Wie kann ich abschätzen, ob die ungleichung stimmt?

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Wieso erhält du das?

 das gilt nur für einen kleinen Bereich, in dem x^2/(x^2+1)<0,5 ist  also x^2<1

Gruß lul

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Um eine kontraktion zu zeigen, muss ich doch f(x_1)-f(x_2) < .... nachweisen

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Hallo

 ja aber nicht <0,5 sondern nur <1

 und das hatten wir dir gezeigt!

Gruß lul

Answer 2

T ' (x) =  1 - 1/(x^{2}+1)

ist für alle reellen x kleiner als 1, weil der Wert des Bruchs immer grösser als Null ist.

Ausserdem ist der Wert des Bruch nie grösser als 1.

Graph der Ableitung

~plot~ 1 - 1/(x^2+1) ;1 ~plot~

Zusammen mit dem Graphen von T(x)

~plot~ 1-1/(x^2+1);1;pi/2 + x - atan(x) ~plot~

Comments

Wie schätze ich am Schluss x_1 - x_2 - arctan(x_1) + arctan(x_2) < 0.5|x_1 - x_2| ab?

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1. Welche Kontraktion ist denn genau gemeint? https://de.wikipedia.org/wiki/Kontraktion

2. Hier https://www.mathelounge.de/134377/kontraktion-nachweisen-wie war z.B. ein Intervall vorgegeben. Brauchst / hast du das hier auch?