Aufgabe:
Es sei f : ℝ → ℝ definiert durch f(x) = sin(x) + 0.1.
Numerische Experimente zeigen, dass für beliebiges x₀ ∈ ℝ die Folge der Iterierten (\( f^{n} \))n∈ℕ immer gegen den selben Wert konvergiert.
Geben Sie eine Begründung (Beweis), warum die obige Aussage richtig ist.
Problem/Ansatz:
Ich habe versucht, das Problem mit dem banachschen Fixpunktsatz zu lösen, aber meine Kontraktion versagt durch die Ableitung f'(x) = cos(x). Wenn ich das Intervall des Wertebereiches annehme mit [-0.9 ; 1.1], ist das Maximum von cos(x) = 1. Nach Banach wird aber verlangt, dass | f(x₁) - f(x₂) | ≤ c | x₁ - x₂ | mit einem c < 1. Die Plots der beiden Kurven und die Iteration zeigen aber natürlich den Fixpunkt. Reicht eine Lipschitz-Stetigkeit aus, wenn eine stetige Differenzierbarkeit mit Beschränkung im Wertebereich vorliegt? Oder übersehe ich etwas?
