Hallo, wisst ihr wie man hier die Beweise durchführt?
(a) Es sei \( r>0 . \) Beweisen Sie die Jordan-Ungleichung
\( \int \limits_{0}^{\pi / 2} e^{-r \sin t} \mathrm{~d} t \leq \frac{\pi}{2 r} \)
Hinweis: Lineare Approximation für den Sinus.
(b) Es sei \( R_{0}>0, f:\left\{z \in \mathbb{C}: \operatorname{Im} z \geq 0,|z| \geq R_{0}\right\} \rightarrow \mathbb{C} \) stetig und so, dass
\( \sup \{|f(z)|: \operatorname{Im} z \geq 0,|z|=R\} \rightarrow 0 \quad \text { für } R \rightarrow \infty \)
Außerdem sei \( \alpha, \beta \) so, dass \( 0 \leq \alpha<\beta \leq \pi, \) und \( \gamma_{R}:[\alpha, \beta] \rightarrow \mathrm{C}, \gamma_{R}(t)=R e^{i t} \) für
\( R>R_{0}, \) und \( c>0 . \) Beweisen Sie, dass
\( \int \limits_{\gamma_{R}} e^{i c z} f(z) \mathrm{d} z \rightarrow 0 \quad \text { für } R \rightarrow \infty \)
(Diese Aussage heißt Jordan-Lemma.) Hinweis: Dreiecksungleichung, Teil (a), und \( \left|e^{z}\right|=e^{\operatorname{Re} z} \)
