Ich spoiler schon mal: Die drei Abbildungen sind linear unabhängig. Du wirst gleich sehen warum.
Der springende Punkt ist hier, dass wenn die Funktionen \(x \cos x, \sin x, \sin(2x)\) linear abhängig wären, das für alle \( x \in \mathbb R \) erfüllt sein müsste, es müsste also nicht-triviale \(\alpha, \beta, \gamma \in \mathbb R\) mit
$$ \alpha x \cos x + \beta \sin x + \gamma \sin(2x) = 0 \,\, \forall x \in \mathbb R \tag*{($*$)} $$
geben. Wichtig: Die \( \alpha, \beta, \gamma \) sind Skalare und insbesondere unabhängig von \(x\)! Wir können also auch einfach spezielle Punkte betrachten, zunächst etwa \(x = \pi\). Dann folgt
$$ \alpha \pi \cdot \underbrace{\cos \pi}_{=-1} + \beta \cdot \underbrace{\sin \pi}_{=0} + \gamma \cdot \underbrace{\sin(2 \pi)}_{=0} = 0, $$
also \( - \alpha \pi = 0 \iff \alpha = 0 \). Für alle \( x \in \mathbb R \) muss also \( \alpha = 0 \) gelten, damit \((*)\) erfüllt ist.
Dasselbe können wir jetzt auch mit \( \beta \) und \( \gamma \) machen, setzen wir \( x = \dfrac{\pi}{2} \), folgt
$$ \underbrace{\alpha \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi}{2}}_{=0} + \beta \cdot \underbrace{\sin \frac{\pi}{2}}_{=1} + \gamma \cdot \underbrace{\sin \pi}_{=0} = 0, $$
also \( \beta = 0 \) (der erste Term fällt sowieso weg wegen \(\alpha = 0\)). Es ist also nur noch ein \( x \in \mathbb R\) zu finden, für das
$$ \underbrace{\alpha x \cos x}_{=0} + \underbrace{\beta \sin x}_{=0} + \gamma \sin(2x) = \gamma \sin(2x) = 0 $$
auch \( \gamma = 0 \) impliziert, wir wählen also ein \( x \), für das der \( \sin(2x) \) nicht verschwindet, etwa \(x = 1\). Dann folgt wie oben \( \gamma = 0 \), also insgesamt \( \alpha = \beta = \gamma = 0 \) und wir haben gezeigt, dass \( x \cos x, \sin x \) und \( \sin(2x) \) in \( C_0(\mathbb R) \) linear unabhängig sind. \( \blacksquare \)
Zusammengefasst: Wenn wir die lineare Unabhängigkeit von Abbildungen zeigen wollen, können wir ausnutzen, dass die Vorfaktoren \( \alpha, \beta, \gamma \) der Linearkombination nicht vom \(x\) abhängen dürfen. Das heißt, wenn etwa an einer bestimmten Stelle (hier bei \(x = \pi\)) \(\alpha = 0\) ist, so gilt das auch für alle anderen Stellen. So können wir sukzessive auch \(\beta = 0\) und \(\gamma = 0\) zeigen, indem wir spezielle Stellen betrachten, an denen das erfüllt sein muss. Und damit haben wir dann \( \alpha = \beta = \gamma = 0 \), also lineare Unabhängigkeit gezeigt.
