Injektiv, stückweise definierte Funktion, Wertebereich

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f(x) = (hier steht eine große geschweifte Klammer und dann die folgenden Funktionen untereinander):

-x^2            x∈[-1,0)

1-x             x∈[0,1)

a)  Skizzieren Sie das Schaubild von f und bestimmen Sie den Wertebereich von f.

b)  Untersuchen Sie, ob f injektiv ist und berechnen Sie die Umkehrfunktion f^−1

Problem/Ansatz:

Jetzt habe ich die beiden Funktionen in ein Koordinatensystem gezeichnet, welche ja schon sehr klein sind aufgrund der kleinen Spanne von f. Jedoch tuh ich mir gerade schwer den Wertebereich zu bestimmen auf wenn dies wahrscheinlich gar nicht so schwer ist aber ich vermute er ist von -1 bis kleiner 0 und von 0 bis kleiner 1.

Jedoch bin ich mir nicht sicher wie ich bei Aufgabenteil b) dies untersuchen soll ob es injektiv ist.

ich

Mit freundlichen Grüßen

Bogi

Comments

welche ja schon sehr klein sind aufgrund der kleinen Spanne von f

Das ist so nicht ganz richtig.

Sie sind klein aufgrund der Längeneinheit, die du gewählt hast.

Wenn du zum Beispiel 1 dm als Längeneinheit wählst, dann ist die Skizze nicht so klein, sondern sie erstreckt sich über fast die gesammte Breite eines DIN A4-Blattes.

Answer 1

~plot~ (x>-1)*(x<0)*-x^2;(x>0)*(x<1)*(1-x) ~plot~

Wertebereich [-1 ; 1] \ {0}

ist Injektiv, da im Bereich von -1 bis 0 streng

monoton steigend und negativ und

im Bereich von 0 bis 1 streng monoton

fallend und positiv.

Umkehrung :

                           1-x  für  x ∈  ( 0 ; 1 ]

    g(x) =

                          -√(-x)   für  x ∈  [ -1 ; 0 )

Comments

VIelen Dank für die Antwort!!

Das hat mir echt weiter geholfen!

Die Wurzel aus -x wahrscheinlich möglich, da x ja nur von -1 bis 0 definiert ist oder?

Mfg

Bogi

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Muss wohl auch -√(-x) heißen. Korrigiere ich oben.

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Ich glaube das davor hat gestimmt oder ich verrechne mich die ganze zeit beim nachrechnen :D

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Nein, wenn du z.B. g(-0,25) haben willst, gibt

- √ (-x)  ja  - √(+0,25) = - 0,5 .

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ok ja vielen Dank für die schnelle Antwort!

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Sorry wenn ich nochmal so dumm frage aber müsste der breich von 1-x nicht [0;1) sein? Und die Funktion hätte dann den gleichen Wertebereich?

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aber müsste der breich von 1-x nicht [0;1) sein? Und die Funktion hätte dann den gleichen Wertebereich?

Nein. Das ist oben schon richtig.

f(x) =

1-x            x∈[0,1)

hatte in diesem Bereich den Wertebereich (0,1].

f(0) = 1 gehört zu W

f(1) = 0 gehört nicht zu W.

Bei der Umkehrfunktion g wird der Wertebereich zum Definitionsbereich.

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Müsste dann aber nicht [-1;0) von -√(-x) ebenfalls anders sein?

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Rechne doch nach.

f(-1) = ? Der Funktionswert gehört zu W von f.

f(0) = ? Der Funktionswert gehört nicht zu W.

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Achso VIelen Dank ich stand voll aufm Schlauch jetzt hab ichs!